Sorte de produit (de Wallis ?)

Bonjour,
Le produit dont tu parles est $\prod_p\frac{p^2}{p^2-1}=\prod_p \frac1{1-p^{-2}}=\zeta(2)=\pi^2/6\approx 1{,}645$.
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Bâle
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann

Si $f$ est multiplicative, alors sa série de Dirichlet possède un produit eulérien (formel, ici) :
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} = \prod_p \left( 1 + \sum_{\alpha = 1}^\infty \frac{f \left( p^\alpha \right)}{p^{\alpha s}} \right).$$
L'étude de la convergence éventuelle de ces objets fait partie du B.A.BA de la théorie analytique des nombres. Avec quelques théorèmes et des valeurs de $s$ bien choisies, on peut obtenir tout plein de résultats inédits. Par exemple :

$\triangleright$ $\displaystyle \prod_p \left( 1 + \frac{1}{p(p+1)} \right) = \frac{\zeta(2)}{\zeta(3)}$ ;

$\triangleright$ $\displaystyle \prod_p \left( 1 + \frac{2p+1}{(p-1)(p+1)^2} \right) = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(3)}$ ;

$\triangleright$ $\displaystyle \prod_p \left( 1 - \frac{1}{p^2+p+1} \right) = \frac{\zeta(3)}{\zeta(2)}$ ;

$\triangleright$ $\displaystyle \prod_p \left( 1 - \frac{1}{p(p^2+p+1)} \right) = \frac{\zeta(3)}{\zeta(2)^2}$ ;

$\triangleright$ $\displaystyle \prod_p \left( 1 + \frac{p+1}{p^3-1} \right) = \frac{\zeta(2) \zeta(3)}{\zeta(4)}$ ;

$\triangleright$ plus généralement, si $a,b > 1$, alors $\displaystyle \prod_p \left( 1 + \frac{p^a+p^b-p^{b+a(1-b)}-1}{(p^a-1)(p^b-1)} \right) = \frac{\zeta(a) \zeta(b)}{\zeta(ab)}$ ;

$\triangleright$ On peut même twister avec un caractère de Dirichlet $\chi$ :
$$\prod_p \left( 1 + \frac{\chi(p)(p-1)}{p(p-\chi(p))} \right) = \frac{L(1,\chi)}{L(2,\chi)}.$$