Nombres consécutifs
dans Arithmétique
Bonsoir, je suis bloqué depuis plusieurs jours sur une question et je ne sais vraiment par où commencer ou comment aborder la question.
Énoncé.
Prouvez que pour tout entier naturel k non nul il existe k entiers naturels consécutifs tels que chacun d'entre eux n'est pas une puissance d'un nombre premier.
Nota : Un entier naturel q est une puissance d'un nombre premier s'il existe un entier premier p et un entier naturel a tel que q = p^a.
Le thème du devoir étant : congruence, théorème de Wilson, Fermat, Euler et restes chinois.
Merci d'avance.
Énoncé.
Prouvez que pour tout entier naturel k non nul il existe k entiers naturels consécutifs tels que chacun d'entre eux n'est pas une puissance d'un nombre premier.
Nota : Un entier naturel q est une puissance d'un nombre premier s'il existe un entier premier p et un entier naturel a tel que q = p^a.
Le thème du devoir étant : congruence, théorème de Wilson, Fermat, Euler et restes chinois.
Merci d'avance.
Réponses
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C'est le problème 5 de l'OIM 1989.
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merci, est ce que vous avez si ils publient les solutions quelque part.
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Oui on trouve le corrigé mais c'est plus sympa de chercher. Moi je regarderais du côté du théorème des restes chinois :
$x \equiv 1 \pmod {m_1}$,$x \equiv 2 \pmod {m_2}$,..., $x \equiv k \pmod {m_k}$. Choisir convenablement les $m_i$.
Bon courage.
Fr. Ch. -
Ca doit être sur artofproblemsolving.com.
Mais voici une idée. Si on veut par exemple qu'un nombre ne soit pas une puissance d'un nombre premier, il suffit qu'il soit un multiple de $6$. -
Bien avant l'OIM 1989 j'avais déjà posé un tel problème dans Le Petit Archimède n°37-38, mars 1977, PB 61, p. 42 : « Montrer qu'il existe un million de nombres entiers consécutifs non premiers. Et un million d'entiers consécutifs chacun divisible par le cube d'un entier (plus grand que 1, bien sûr). Et encore (on ne se refuse rien) un million d'entiers consécutifs possédant chacun au moins dix facteurs premiers différents ».
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Merci pour tous les indices je vais continuer a creuser le problème.
bonne soirée du nouvel an . -
Bonsoir, si jamais un truc classique est avec $2(k+1)!+j$, $2\le j \le k+1$, $k\ge 2$
Ils sont tous non premiers. Si $j=p^i$ avec $p$ premier $j\times 2j$ est un facteur de $2(k+1)!$ et clairement pas de $\frac{2(k+1)!}{j}+1$. -
Bien sûr JLT connaît bien ce problème ;-).
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Salut Chaurien, en fait tes problèmes peuvent être twister avec ce truc: une certaine itération des factoriels, je crois que tu as fais différemment vue ton post avec les congruences...
En tout cas je n' oublie pas qui m'a fait connaitre cette idée mon prof il y a 6 ans que je souhaite et à tous les profs une bonne année. (P. ROY. -
@ Tonm
Désolé, j'ai un peu de mal avec les langues étrangères. -
Oui désolé j'ai estimé que outre la solution direct, il y a une autre à l'aide des congruences...
Aussi je voudrais répondre aux problèmes que tu as mis en 1977 avec la même idée de factoriels, sinon ça y est ... -
Je ne comprends pas la prose de Tonm, qu'il imagine être du français je suppose, ni sa solution, rédigée trop succinctement pour ma p'tite tête.
Il est vrai que le site AOPS (Art Of Problem-Solving) donne des solutions des problèmes des OIM, mais ces solutions font parfois référence à des énoncés qui ne sont pas ceux qui ont effectivement été posés. C'est le cas présentement : https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1989_IMO_Problems/Problem_5. C'est bizarre, mais c'est comme ça.
Il y a un autre site qui donne les solutions, mais je vous laisse le plaisir de le chercher.
Pour ce problème 5 de 1989, on trouve une ou plusieurs solutions dans des livres, comme autrefois :
- Jean-Pierre Boudine, François Lo Jacomo, Roger Cuculière, Olympiades Internationales de Mathématiques de 1988 à 1998, Éditions du Choix, 1998.
- Paul Bourgade, Olympiades internationales de mathématiques 1976-2005, Cassini, 2005.
- Istvan Reiman, International Mathematical Olympiad 1959 - 1999, Anthem Press 2001.
Mais le gros IMO Compendium 1959-2004 de chez Springer 2006 ne donne pas de solution pour cette année-là.
Ces solutions utilisent toutes la factorielle, ou la factorielle au carré, comme Tonm, pour ce que j'en ai pu comprendre
Il semblerait que ma solution fondée sur les restes chinois soit originale. Tant mieux.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Je précise le détail de ma solution. Le problème est : « Prouvez que pour tout entier naturel $k$ non nul il existe $k$ entiers naturels consécutifs tels que chacun d'entre eux n'est pas une puissance d'un nombre premier. »
Soit $k \in \mathbb N^* $, soient $m_1,m_2,...,m_k$ des entiers strictement positifs premiers entre eux deux à deux, et soit $\displaystyle m=\overset{k}{\underset{i=1}{\prod }}m_{i}=m_{1}m_{2}...m_{k}$.
On considère le système de congruences, à l'inconnue $x \in \mathbb Z$ :
$x \equiv -1 \pmod {m_1}, x \equiv -2 \pmod {m_2},..., x \equiv -k \pmod {m_k}$.
Le théorème des restes chinois dit que ce système a une solution $x_0 \in \mathbb Z$, et que l'ensemble de ses solutions est exactement $\{x_0+ \lambda m, \lambda \in \mathbb Z \}$. Il existe donc une solution avec $ x>0$, et il en existe même une infinité. Pour chacune de ces solutions, les nombres $x+1,x+2,...,x+k$ sont $k$ entiers positifs consécutifs tels que chaque $x+i$ est divisible par $m_i$.
Maintenant, on peut choisir les $m_i$ pour résoudre le problème posé. Si $(p_n)_{n \in \mathbb N^*}$ désigne la suite strictement croissante des nombres entiers naturels premiers, on prend $m_i=p_{2i-1}p_{2i}$, et c'est fait.
Bizarrement, cette solution n'est pas envisagée dans les trois livres que j'ai cités (pas même celui dont je suis co-auteur !), ni sur le site de solutions : https://prase.cz/kalva/imo/isoln/isoln895.html (dont je n'avais pas donné l'adresse dans mon précédent message). Elle présente l'avantage de prouver qu'il y a, non seulement une, mais une infinité de suites de $k$ entiers consécutifs répondant à la question.
Autre avantage de cette solution : sa méthode est utilisable pour prouver qu'il existe une infinité de $k$-suites d'entiers positifs « très non-premiers » en les divers sens qui étaient évoqués dans le problème PB 61 du Petit Archimède n° 37-38, mars 1977, solution dans le n° 39-40, juin 1977, cité dans un de mes précédents messages. Voir le site http://www.lepetitarchimede.fr/pa/pa.htm.
Ce qui est curieux, c'est que ces problèmes se résolvent en puisant dans la réserve infinie des nombres premiers, et c'est cette infinitude qui nous conduit justement à construire des séquences d'entiers positifs consécutifs « très non-premiers » aussi longues qu'on veut et aussi nombreuses qu'on veut. Les premiers donnent des non-premiers : c'est la dialectique (:P), ou la coincidentia oppositorum de Nicolas de Cues.
Bonne journée, et bonne année 2021.
Fr. Ch.
01/01/2021 -
@ Chaurien: c'est aussi comme ça que je l'ai pensé tout de suite. Je ne sais pas encore trop pourquoi j'ai hésité sur la factorielle, peut être parce que je n'arrivais pas à éliminer formellement les cas "puissance d'un nombre premier " .
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