Devinette du nouvel an

Bonjour,

Soit la suite strictement croissante d'entiers $u_n$ définie par $u_1=1$ puis pour $n\geq2$ on a $u_{n}$ qui est le plus petit entier $>u_{n-1}$ tel que le numérateur de la fraction représentée par
$$\frac{1}{u_{1}}+\cdots+\frac{1}{u_{n-1}}+\frac{1}{u_{n}}
$$ soit minimal. Par exemple $u_2=2$ est le plus petit entier $>1$ tel que le numérateur de la fraction représentée par $1+\frac{1}{u_2}$ soit minimal et égal à $3$.
Il faut déterminer $u_{n}$ en fonction de $n$
Remarque : si je ne me suis pas trompé la réponse est simple comme choux quand on pense télescopage.