Puzzle reconstitué

Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il me dire si le long raisonnement que je tiens ci-dessous est correct ?
Plus un raisonnement est long, plus le risque d'erreur est grand.
Merci d'avance.
Il s'agit pour moi de résoudre le problème suivant.

Trouver les entiers $n>0$ tels que $\dfrac{2^n+1}{n^2}$ soit entier.

Voici mon raisonnement.
$\fbox{1}$ [size=medium] $n$ impair et premières solutions. [/size]
On remarque immédiatement que, quel que soit $n$ (pair ou impair), l'entier $2^n+1$ sera impair.
De sorte que, si $n$ est pair, $n^2$ sera pair aussi et ne pourra diviser $2^n+1$, alors que, si $n$ est impair, $n^2$ sera impair aussi et pourra éventuellement diviser $2^n+1$.
Donc, on cherche $n$ obligatoirement impair.

Sachant $n$ impair, on ne peut pas s'empêcher de tester quelques petites valeurs impaires et on s'aperçoit de suite que $n=1$ et $n=3$ sont des solutions, la solution $n=1$ pouvant même être qualifiée de "triviale" puisque $1$ est "diviseur universel".
Mais on ne peut pas passer le reste de sa vie à tester toutes les valeurs impaires une par une. Il faut une méthode.

$\fbox{2}$ [size=medium] La méthode (résumée). [/size]
Puisque $n=3$ est une solution, les éventuelles autres solutions seront de la forme $n=3^mZ$, avec :
$m$, un entier naturel (éventuellement nul, ce qui ferait disparaître le facteur $3$),
$Z$, un entier strictement positif impair (éventuellement égal à $1$) et premier avec 3 (sinon, cela influencerait de façon incontrôlée la valeur de $m$).
La méthode consiste à déterminer $m$ et $Z$ autrement qu'au cas par cas. J'ajouterai même qu'il vaut mieux commencer par déterminer $m$. On verra pourquoi.

$\fbox{3}$ [size=medium] Détermination de $m$. [/size]
Si $(n)^2=(3^mZ)^2$ divise $2^{3^mZ}+1$, alors déjà $(3^m)^2=3^{2m}$ divise $2^{3^mZ}+1$.
Que dire de $m$ ?

$\fbox{3a}$ François Chaurien a proposé ailleurs une démonstration de ce que $3^{m+2}$ ne divise pas $2^{3^m}+1$. (Pour cette démonstration, voir mon message suivant.)
$\fbox{3b}$ : En élargissant le travail de François Chaurien, il est possible de démontrer que $3^{m+2}$ ne divise pas non plus $2^{3^mZ}+1$. (Pour cette démonstration, voir deux messages à moi plus bas.)
$\fbox{3c}$ : De ce dernier résultat, on déduit que toute puissance de $3$ égale ou supérieure à $3^{m+2}$ ne divise pas $2^{3^mZ}+1$.
[En effet, si $3^{m+2}=3^m\cdot 3^2$ ne divise pas $2^{3^mZ}+1$, alors il est évident que, pour tout entier $a$ strictement positif, $3^{(m+2)+a}=3^m\cdot 3^2 \cdot 3^a$ ne divisera pas $2^{3^mZ}+1$ non plus.]

De sorte que, si $2^{3^mZ}+1$ est divisible par $(3^m)^2=3^{\color{red}{2m}}$ mais pas par une puissance de $3$ égale ou supérieure à $3^{\color{red}{m+2}}$, alors du côté des exposants de $3$ on doit avoir $2m<m+2$, c'est-à-dire qu'on doit avoir $m<2$.
Puisque $m$ est un entier naturel, $m=0$ ou $m=1$.

$\fbox{4}$ [size=medium] Détermination de $Z$. [/size]
Rappel : $Z$ est un entier strictement positif impair et premier avec $3$.
Qu'en dire d'autre ?
Deux suppositions :

$\fbox{4a}$ $\underline{Z=1}$.
Si $Z=1$, alors le problème prend fin ici. En effet :
Si $Z=1$ et $m=0$, alors $(n)^2=(3^01)^2=(1)^2=1$ divise bien $2^{3^01}+1=3$ (solution déjà trouvée : $n=1$).
Si $Z=1$ et $m=1$, alors $(n)^2=(3^11)^2=(3)^2=9$ divise bien $2^{3^11}+1=9$ (solution déjà trouvée aussi : $n=3$).

$\fbox{4b}$ $\underline{Z>1}$.
Si $Z>1$, alors $Z\geq 5$ et sa décomposition en facteurs premiers compte un plus petit facteur premier $p$ (impair, forcément).
De sorte que si $(n)^2=(3^mZ)^2$ divise $2^{3^mZ}+1$, alors déjà $p$ divise $2^{3^mZ}+1$, ce qui en arithmétique modulaire donne, dans le respect de l'égalité $n=3^mZ$ :

$2^n+1\equiv 0\pmod{p}$
$2^n\equiv -1\pmod{p}$
$(2^n)^2\equiv (-1)^2\pmod{p}$
$2^{2n}\equiv 1\pmod{p}$ (Résultat 1)

Mais, étant donné que $p$ premier impair ne divise pas 2, le petit théorème de Fermat dit aussi :
$2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ (Résultat 2)

De sorte que, combinant le résultat 1 et le résultat 2, on a (en vertu de la démonstration disponible trois messages à moi plus bas) :
$2^{PGCD(2n, p-1)}\equiv 1 \pmod{p}$.

Or, d'une part, on a $\underline{2n}=2\cdot (3^mZ)=\underline{2\cdot Z}$ si $m=0$, et $2n=2\cdot (3^mZ)=\underline{2\cdot 3\cdot Z}$ si $m=1$.
D'autre part, puisque $p$ est le plus petit facteur premier (impair) de $Z$ (impair), il suit que $p-1$ :
- est forcément premier avec $Z$,
- est pair, donc possède le facteur premier $2$,
- possède éventuellement le facteur premier $3$.

De sorte que :
si $2n=2\cdot Z$, alors $PGCD(2n, p-1)=2$.
si $2n=2\cdot 3 \cdot Z$, alors $PGCD(2n, p-1)=2$ ou $6$.

...résultats qui permettent de reprendre là où l'on s'était arrêtés, c'est-à-dire à $2^{PGCD(2n, p-1)}\equiv 1 \pmod{p}$, en envisageant les deux cas :
$\underline{\text{Si PGCD(2n, p-1)=2}}$, alors,
$2^2\equiv 1\pmod{p}$
$4-1\equiv 0\pmod{p}$
$3\equiv 0 \pmod{p}$
ce qui, en arithmétique modulaire, signifie que $p$ (premier impair) divise $3$. Donc, $p=3$.
Mais cette solution est inacceptable puisque $Z$, premier avec $3$, ne peut posséder de facteur premier égal à $3$. Hypothèse à rejeter.

$\underline{\text{Si PGCD(2n, p-1)=6}}$, alors,
$2^6\equiv 1\pmod{p}$
$64-1\equiv 0\pmod{p}$
$63\equiv 0 \pmod{p}$
Ici, $p$ premier impair, premier avec $3$, divise $63$. Donc, $p=7$.
Mais cette solution est inacceptable également. En effet, on calcule facilement que $3$ est l'ordre multiplicatif de $2$ modulo $7$. De sorte que, pour tout entier naturel $t$ :
$2^{1+3t}\equiv 2\pmod{7}$
$2^{2+3t}\equiv 4\pmod{7}$
$2^{3+3t}\equiv 1\pmod{7}$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $2^n+1$ ne peut être congru modulo $7$ qu'à $3$, $5$ ou $2$. Jamais à zéro. Donc $7$ ne divise jamais $2^n+1$.

L'hypothèse $Z>1$ ne conduisant qu'à des solutions à rejeter ($p=3$ et $p=7$), elle est elle-même à rejeter, ce qui renvoie à l'hypothèse $Z=1$ et aux deux seules solutions trouvées dans ce cadre-là, à savoir $n=1$ et $n=3$.