Montrer un isomorphisme

Ce qui est clair est si on a un isomorphisme d'anneaux entre les anneaux $\left(A_1,+,\times\right)$ et $\left(A_2,+,\times\right)$ un inversible de l'anneau $\left(A_1,+,\times\right)$ a pour image un inversible de l'anneau $\left(A_2,+,\times\right)$ par cet isomorphisme et un inversible de l'anneau $\left(A_2,+,\times\right)$ a pour image par l'isomorphisme réciproque un inversible de $\left(A_1,+,\times\right)$ c'est à dire qu'on a que $\left(A_1^\star,\times\right)$ est isomorphe à $\left(A_2^\star,\times\right)$ (c'est un isomorphisme de groupes).

On peut se demander si on considère l'anneau produit $\left(A\times B,+,\times\right)$ , $\left(A,+\times\right),\left(A,+\times\right)$ deux anneaux, s'il y a une relation entre les inversibles de cet anneau produit, l'ensemble noté $\left(\left(A\times B\right)^\star,\times\right) $ (qui est un groupe) et le groupe produit $\left(A^\star,\times\right) \times \left(B^\star,\times\right)$. Dans le cas d'espèce $\left(A,+,\times\right)$ et $\left(B,+,\times\right)$ sont des anneaux de congruence c'est à dire de la forme $\left(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z},+,\times\right)$ avec $k$ un entier strictement plus grand que $1$.

NB: pour simplifier j'ai noté toutes les lois multiplicatives et additives qui interviennent respectivement par les symboles $\times$ et $+$.

Ton début est juste, mais la fin est fausse, car l’isomorphisme du théorème chinois
$$\Z/4\Z \times \Z/5\Z \times \Z/11\Z\to \Z/220\Z.
$$ n’est pas défini par le produit des trois composantes (ça n’a pas de sens).

De toute manière, tu t’embêtes : à moins qu’on te le demande, tu n’as pas besoin d’écrire explicitement l’isomorphisme complet entre tes deux groupes (il suffit de décrire chaque étape, car la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme).

Si tu veux vraiment écrire l’application ci-dessus du théorème chinois explicitement, il faut commencer par déterminer une relation de Bézout entre $4\times 5$, $5\times 11$ et $4\times11$.