Approximation
dans Arithmétique
Bonsoir
Connaissez-vous une formule asymptotique du produit $\prod_{k=1}^n \log(p_k)$ ? ($p_k$ étant le $k$ième nombre premier).
Merci pour vos réponses.
Connaissez-vous une formule asymptotique du produit $\prod_{k=1}^n \log(p_k)$ ? ($p_k$ étant le $k$ième nombre premier).
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Réponses
Notons $P(x) = \prod_{p \leq x} \log(p)$, de sorte que tu recherches $P(p_n)$.
Alors par sommation partielle, et en utilisant le théorème des nombres premiers sous la forme $\pi(x) = \frac{x}{\log x} + O\left(\frac{x}{(\log x)^2}\right)$, on a $$\log P(x) = \sum_{p \leq x} \log \log p = \pi(x) \log \log x - \int_2^x \frac{\pi(t)}{t \log t} \,\mathrm{d}t = \frac{x \log \log x}{\log x} + O\left(\frac{x \log \log x}{(\log x)^2}\right).$$ Ainsi, en utilisant le TNP sous la forme $p_n = n \log n(1+o(1))$, $$P(p_n) = \exp\left(\frac{p_n \log \log p_n}{\log p_n} \left(1 + O\left(\frac{1}{\log p_n}\right)\right)\right) = \exp\left(n \log \log n(1+o(1))\right) = (\log n)^{n+o(n)}.$$ On peut sûrement faire plus précis en utilisant une version plus précise du TNP.
$$P_n = C \prod_{k=6}^n \left\{ (\log k)^{1+\tfrac{1}{\log k}} \right\} \times \exp \left\{ O \left( \frac{n (\log_2 n)^2}{(\log n)^2} \right) \right\}$$
avec $C:= \displaystyle \prod_{k=1}^5 \log p_k \approx 5,7187$. Pas évident que ça soit plus pertinent que le résultat de Poirot.
Qu'est-ce que tu veux dire par "valide pour tout $k \geqslant 6$" ? C'est asymptotique un $O(\dots)$.
$$\forall x \geqslant a, \quad \left| f(x) \right| \leqslant c g(x).$$
Ici, la recherche d'un développement asymptotique d'un produit demandait nécessairement une condition de validité forte sur cette estimation. Je me suis servi des encadrements explicites parmi les meilleurs connus de $p_k$ pour développer le calcul.
En fait, le grand "O" des classes CPGE/L1/L2 est trop restrictif (trop local) pour être utilisé efficacement et avec la précision souhaitée. Ceci dit, il n'est pas toujours possible d'obtenir une telle précision. Dans ce cas, les résultats sont énoncés pour tout $x$ "suffisamment grand". En règle générale, on arrive presque toujours à contourner ce problème. J'aurais pu le faire ici, bien sûr (remplacer $6$ par un entier $n_0$ grand), mais comme je dispose de résultats explicites connus, je ne m'en suis pas privé.
Par ailleurs, la remarque de Poirot me permet de faire un petit point sur les estimations de $p_k$. Je ne reviens pas sur l'encadrement dont je parle ci-dessus, on l'a déjà donné souvent ici. En revanche :
(i) Cipolla (1902) établit la formule asymptotique suivante. Pour $n \to \infty$ et tout entier $r \geqslant 1$ fixé
$$p_n = n \left\{ \log n + \log \log n - 1 + \sum_{k=1}^r (-1)^{k-1} \frac{P_k(\log \log n)}{k! (\log n)^k} + o \left( \frac{1}{(\log n)^r} \right) \right\}$$
où chaque $P_k$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $k$ et de coefficient dominant $(k-1)!$
(ii) L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'estimation
$$\forall n \geqslant 11, \quad p_n = \textrm{Li}^{-1} (n) + O^\star \left( \pi^{-1} n^{1/2} (\log n)^{5/2} \right).$$
(Re)Calli : ici, j'ai donc utilisé un "grand O généralisé", noté $O^\star$, qui inclut la constante impliquée dans le terme d'erreur et qui oblige à donner un domaine de validité explicite.
En général, la suite $(v_n)_n$ est à valeurs positives.