Somme de nombres premiers distincts
dans Arithmétique
Bonjour à tous.
Après quelques essais sur machine, j'ai l'impression que 2, 3 et 11 sont les seuls nombres premiers qui ne peuvent pas s'écrire comme somme d'au moins deux nombres premiers distincts (par exemple, 23 le peut puisque $23=11+7+5$, et 7 aussi car $7=5+2$). Ai-je raté quelque chose qui rendrait ceci évident ? Merci pour vos idées.
Après quelques essais sur machine, j'ai l'impression que 2, 3 et 11 sont les seuls nombres premiers qui ne peuvent pas s'écrire comme somme d'au moins deux nombres premiers distincts (par exemple, 23 le peut puisque $23=11+7+5$, et 7 aussi car $7=5+2$). Ai-je raté quelque chose qui rendrait ceci évident ? Merci pour vos idées.
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Réponses
La conjecture faible de Goldbach dit que tout nombre impair supérieur ou égal à 9 peut s'écrire comme somme de 3 nombres premiers (pas forcément distincts).
Ces conjectures ont été énoncées il y a plus de 2 siècles, et n'ont toujours pas été démontrées.
Comme son nom l'indique, la conjecture faible est plus faible que la conjecture forte. Il suffirait de démontrer la conjecture forte pour que la conjecture faible soit immédiatement démontrée.
Informatiquement, on constate qu'il y a 'beaucoup' de couples de nombres premiers qui conviennent pour chaque nombre pair. Donc la contrainte supplémentaire 'nombres distincts' n'est pas vraiment bloquante (surtout qu'on s'autorise des décompositions de la forme 2+p+q, en plus des décompositions de la forme p+q)
Donc démontrer ton résultat de manière rigoureuse, mathématique, personne ne saura faire, tous les matheux du monde ont échoué sur la conjecture de Goldbach depuis 2 siècles.
Mais le fait que ta conjecture soit exacte ... oui, tu peux faire les paris que personne ne trouvera de contre-exemple avant quelques siècles.
Que tout entier $n \geq 7$ puisse s'écrire comme somme de nombres premiers distincts est un résultat assez classique, conséquence du "Postulat" de Bertrand.
Je crois que c'est dû à Richert.
...et je me complète moi-même : effectivement, c'est Richert (1950). Une recherche Richert sum primes donne plusieurs liens vers des preuves.
Pierre.
https://math.stackexchange.com/questions/1382663/prove-that-every-integer-n-geq-7-can-be-expressed-as-a-sum-of-distinct-primes
Pierre.
41 : 41-7 donne 34, le plus grand premier inférieur ou égal à 34 , c'est 31
Donc 41= 31+ ... un nombre premier ou une somme de nombres premiers distincts.
Quand le reste est inférieur à 20, on sait qu'on a retranché systématiquement des nombres premiers relativement grands (plus grands que 20) et on sait que tout nombre entre 7 et 20 est décomposable en somme de premiers distincts.
Donc, c'est fini.
Et ça marche parce qu'on est certain qu'en appliquant cette règle, on retranche à chaque étape au moins la moitié du nombre à traiter (parce ue entre n et 2n , il y a toujours au moins un nombre premier).
Tant que le reste est entre 7 et 20, on continue.
A la fin de ce processus, on a forcément un nombre entre 7 et 20. Et on a l'assurance que chaque nombre premier utilisé dans le processus est supérieur ou égal à 13. Et aussi qu'on n'a jamais utilisé 2 fois le même nombre premier.
Quand on est arrivé à un nombre entre 7 et 20, on a une solution pour décomposer ce nombre en somme de premiers distincts, tous plus petits que 13
On tient notre décomposition en somme de premiers tous distincts.