Pgcd
dans Arithmétique
Bonjour
Soit $n$ un entier non nul et $\ell \in \{1,\ldots,n\}$. Je cherche un unique $d$ avec $d\mid n$ tel que $d = \ell \wedge n$
NB. C'est pour montrer l'égalité
$$
\{1,\ldots,n\} = \bigcup_{d\mid n}\ \{ k \mid k \wedge n = d \}.
$$ Mais je ne sais pas trop quoi prendre comme $k$.
Soit $n$ un entier non nul et $\ell \in \{1,\ldots,n\}$. Je cherche un unique $d$ avec $d\mid n$ tel que $d = \ell \wedge n$
NB. C'est pour montrer l'égalité
$$
\{1,\ldots,n\} = \bigcup_{d\mid n}\ \{ k \mid k \wedge n = d \}.
$$ Mais je ne sais pas trop quoi prendre comme $k$.
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Réponses
Merci Poirot pour votre réponse .
Comment on montre déjà que si $\Z/ab\Z$ est isomorphe à $\Z/a\Z \times \Z/b\Z$ alors $a$ et $b$ sont premier entre eux ?
$$
\mathrm{ppcm}(a,b)\mathrm{pgcd}(a,b) = ab
$$ Et du coup je me demande si $(1[a],1[ b])$ engendre $\Z/ab\Z,$ ce n'est pas clair.
mini_calli : pour répondre proprement à la question, détermine l'ordre maximal d'un élément dans $\Z/ab\Z$ et dans $\Z/a\Z \times \Z/b\Z$.
Si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, $a \vee b < ab$ comme tu l'as expliqué, donc $\Z/a\Z \times \Z/b\Z$ n' a pas d'élément d'ordre $ab$, contrairement à $\Z/ab\Z$. Les deux groupes ne sont donc pas isomorphes dans ce cas.
Poirot voulait sans doute te faire remarquer que lorsque $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, du fait que $\Z/a\Z \times \Z/b\Z$ n' a pas d'élément d'ordre $ab$, on peut déduire que ce groupe n'est pas cyclique, puisque son ordre est justement $ab$. Alors que $\Z/ab\Z$, lui, est évidemment cyclique.