Colle pour math-sup

J'aurais tendance à dire 666 plutôt.

Non, je suis persuadé d'avoir raison. Sinon, ça me paraît bien compliqué d'avoir une jolie formule générale.
On conjecture et une récurrence, ça doit le faire. Ou pas...

Prenons l'interprétation de Kioups, et considérons des nombres en base $b$. Soit $\mathfrak{S}$ l'ensemble des permutations de $\{0,1,..,n\}$. Alors la somme cherchée est : $\displaystyle S=\underset{\sigma \in \mathfrak{S}}{\sum }\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{\sigma (k)}b^{k}$.
Une interversion des $\Sigma$ donne le résultat. Ceci revient à poser l'addition comme fait FdP et à sommer chaque colonne. Les totaux de toutes les colonnes sont les mêmes.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Ha oui, oui, j’ai la somme explicite de Chaurien depuis le début.
Mais il faudrait résoudre le problème de l’alinéa posé par aléa ;-)... et là j’ai posé mon papier et mon crayon avant même de chercher (tel un collégien médiocre).

soland : il y a 120 permutations de 44777. Ou 10 selon l'interprétation...

n! / (k1! * k2!....) * somme des chiffres * (10 ^(n+1)-1) / 9

avec ki = chiffre i représenté k fois.

Un rapport avec https://oeis.org/A323416 ?

Sauf méprise de ma part, nodgim propose une réponse pour l’interprétation d’aléa tandis que Cidrolin propose la forme générale pour l’interprétation de kioups.

On raisonne sur les permutations avec répétitions (« anagrammes »). Il m'est arrivé autrefois de demander aux élèves combien le mot ANAGRAMME a d'anagrammes.
Soit $b \in \mathbb N, b \ge 2$.
On considère les nombres de $n$ chiffres en base $b$, ayant les chiffres $a_{1},a_{2},...,a_{p}$, distincts, le chiffre $a_{i}$ répété $n_{i}$ fois, avec $\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}n_{i}=n$.
La somme des chiffres de chacun de ces nombres est : $\displaystyle A=\underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}n_{i}a_{i}$.
Le nombre de ces nombres est $N=\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{p}!}$. Si l'on représente la liste de ces nombres l'un sous l'autre, comme Cidrolin, on observe que la somme de chacune des $n$ colonnes est toujours la même.
Cette remarque conduit à la somme de tous nos $N$ nombres : $S=\frac{1}{n}NAR_{n}$, où $R_{n}$ est le « répunité », le nombre qui s'écrit avec $n$ chiffres $1$
en base $b$, soit $R_n=\frac {b^n-1}{b-1}$.
Dans l'exemple de Cidrolin, on a : $b= 9+1$, $n=5$, $a_1=4$, $a_2=7$, $n_1=2$, $n_2=3$, d'où $A=29$, $N=10$, $R_n=11111$, et on voit l'origine de ce $58$.
Bonne après-midi (je vais me faire vacciner).
Fr. Ch.

Chaurien et nodgim disent la même chose mais Chaurien donne la formule pour un entier à $n$ chiffres alors que nodgim la donne pour un entier à $n+1$ chiffres (ce qui était demandé au départ).

Je précise ma démonstration. Je conserve les notations de mon précédent message.
Je considère la liste des $N$ nombres écrits l'un sous l'autre comme a fait Cidrolin.
Le nombre de ces nombres commençant par le chiffre $a_1$ est le nombre de permutations avec répétitions des $n-1$ autres chiffres, avec $n_1-1$ fois le chiffre $a_1$, c'est $\frac{(n-1)!}{(n_{1}-1)!n_{2}!...n_{p}!}$$=\frac {n_1}n N$.
Il en est de même pour chacun des chiffres $a_i$.
La somme des chiffres de la première colonne de la liste est donc : $ \displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}\frac {n_i}n N a_i= \frac 1n NA$.
Cette somme est la même pour les autres colonnes, d'où le résultat.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
27/01/2021