Nombres premiers entre eux

donnet
donnet
dans Arithmétique
Bonjour
Selon la présentation classique du Théorème de Bezout,
deux nombres entiers relatifs A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que Ax + By = 1.
Cette présentation masque un peu la propriété suivante.
Si on ne considère que les nombres entiers positifs (A,B,x,y)

L'identité se dédouble en
Ax0 - By0 = 1
Ax1 - By1 = -1,
avec x0 + x1 = B et y0 + y1 = A.
Comment prévoir a priori le signe de l'unité ?

Dans le cas des nombres de Fibonacci,
nous obtenons l'identité Fi+1 Fi- Fi Fi-1 = (-1)^i
L'Identité de Cassini nous permet de prévoir en fonction de l'indice i du nombre de Fibonacci le signe de l'unité dans cette identité.

Y a-t-il d'autres cas particuliers où il serait possible de faire de même ?
Quid du cas général ou les nombres premiers entre eux n'ont pas de propriétés communes ?
Merci de votre aide.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    "Comment prévoir à priori le signe de l'unité? " Bizarre question : 1 est positif, -1 est négatif. Tu veux sans doute poser une autre question ...

    Je n'ai pas compris pourquoi tu écris "avec x0 + x1 = B et y0 +y1 = A ". Comme on ne sait pas d'où sortent tes x0, x1, y0 et y1, ça n'a aucun sens. Déjà, ton "Si on ne considère que les nombres entiers positifs (A,B,x,y)" pose problème puisque tu parlais de Ax+By=1 où A, B, x et y ne peuvent pas être tous positifs sauf cas très particuliers (A=1, B=0; ou A=0, B=1).

    Donc il va falloir être plus clair, si tu veux être lu !!

    Cordialement.
  • nodgim
    nodgim
    Il y a un moyen de savoir, c'est de regarder la parité du nombre de termes de la fraction continue A / B, si A > B. Je ne vois pas plus court.
  • donnet
    donnet
    Bonjour Gérard

    Je vais essayer d'être plus explicite
    Les deux premières lignes ne sont là que pour rappeler une définition.
    Ensuite je pose une autre condition qui aboutit à une nouvelle définition. On s'interdit d'utiliser des entiers négatifs.
    Dans ce qui suit tout se passe dans N+.
    Les deux identités ci-dessous caractérisent la propriété : A et B sont premiers entre eux.

    Ax0 - By0 = 1 avec ses coefficients de BEZOUT x0 et y0
    Ax1 - By1 = -1, avec ses coefficients de BEZOUT x1 et y1.

    Ces coefficients appartiennent à N+ et ne sont pas uniques. Il sont définis respectivement à un multiple de A ou de B près.
    Voir l'exemple ci dessous.
    J'ai choisi pour chaque identité les coefficients qui étaient inférieurs respectivement à A et B.

    Pour illustrer par un exemple A=13; B=9
    Cela donne
    13x7-9x10= 1 coeff x0 =7 ; y0 =10 (16 et 26 sont un autre couple de coeff )
    13x2-9x3= -1 coeff x1 =2 ; y1 =3 (idem 11 et 16)
    On démontre facilement comme cela se vérifie sur l'exemple x0+x1=B et y0+y1= A.

    Quel est mon but ?
    Si on regarde le cas des nombres de Fibonacci Fi est premier avec Fi-1 et Fi-2,
    les identités s'écrivent
    Fi Fi-2 -Fi-1 Fi-1 =(-1)k
    cette relation est une identité de Cassini et l'on [peut] prévoir le signe de 1 : k=i-1
    dans une étude que j'essaie de mener sur les diviseurs de trinômes du second degré je dois trouver quel est le signe du (-1)k de nombres premiers entre eux qui sont les termes d'une suite récurrente d'ordre 2 de la forme :
    Mi+1=Hi*Mi+Mi-1 qui est un cas particulier
    les Hi étant égaux à (-1)i C C étant une constante.

    D'où l'appel que j'ai lancé et auquel Nodgim m'apporte une réponse que je vais regarder pour laquelle je le remercie.
    Cordialement.
    Denton
  • gerard0
    gerard0
    OK.

    Quand tu expliques de quoi tu parles, pas de problème !!
  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, soit je passe à côté soit j'ai mal compris mais le signe de $1$ $(\pm 1) $ ne dépend pas de $A,B$ mais du couple $(x,y)$.
  • donnet
    donnet
    Bonjour Tonm

    On ne peut affirmer cela.
    Lorsque l'on regarde une des identités ,par exemple la première,
    A et x0 ont un rôle symétrique .Il en est de même pour B et y0.
    et donc ,les nombres des couples
    (A,B)
    (A , y0)
    (B, x0)
    et (x0 , y0)
    sont premiers entre eux.
    Une petite remarque en passant : j'ai cherché en vain (certainement pas assez) dans les manuels scolaires ou sur internet
    une indication sur la primalité des coefficients de BEZOUT pour des nombres premiers entre eux.
    Courtoisement.
  • Tonm
    Tonm
    Bonsoir, il y a un truc, quand on a $ax+by=c$ à résoudre en $x,y$ on fixe $a,b$ et $c$. Sinon comment trouves tu en premier lieu $(x_0,y_0)$ ou $(x_1,y_1)$? Peut être tu cherches un autre fait mais je ne sais quand même.
    Si $c=\pm 1 $, $pgcd(ax,by)=1$.

    Cordialement
  • donnet
    donnet
    Bonjour Tonm

    Dans mon cas je pars de deux nombres A et B premiers entre eux et je cherche les deux couples de coefficients de BEZOUT inférieurs à ces nombres premiers. La relation entre ces coefficients est celle que j'ai indiquée dans mon premier message.

    Tu peux partir de x0 et y0 premiers entre eux et chercher les deux couples de coefficients de BEZOUT correspondants.
    C'est une question de terminologie.
    Par contre les résultats ne seront pas totalement symétriques car un seul des couples trouvés correspondra A et B (à l'ajout d'un multiple de x0 et y0 près).
    On pourra le vérifier en reprenant l'exemple A=13 et B =9.
    Cordialement.
    Denton.
  • Tonm
    Tonm
    Rebonjour, oui si tu poses ça
    donnet a écrit:

    Dans mon cas je pars de deux nombres A et B premiers entre eux et je cherche les deux couples de coefficients de BEZOUT inférieurs à ces nombres premiers

    Alors trouver ces deux couples est bien connu (algorithme d'Euclide étendue ou autre).
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