Sur une congruence

topalg
topalg
dans Arithmétique
Bonsoir

Soit $n \in \mathbb{N} $. J'aimerais calculer la congruence $n^{3} \bmod 9$,

mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu peux commencer par chercher ce que vaut $n^6 \text{ mod } 9$.
  • topalg
    topalg
    D'accord Poirot mais comment je dois m'y prendre ?
    Avant cette congruence il y avait dans l'exo $2^{2n}-1\bmod4$, $\quad2^{3n} - 1 \bmod 7$
    et je savais comment m'y prendre mais là avec $n^{3}$ je ne sais pas.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Un examen des restes de la division par 9 des $n^3$ pour n de 0 à 8 donne déjà quelques idées. Puis l'examen du développement de $(n+3)^3$ permet de terminer.

    Bon travail !
  • topalg
    topalg
    gerard0 pour n de 0 à 8 j'ai obtenu que $n^{3}$ est congru ou bien à 0, ou bien à 1 ou bien à 8 modulo 9.
    J'ai aussi développé $(n+3)^{3}$ et je trouve $n^{3} + 9n^{2} + 27n + 27$, mais je n'arrive pas à terminer.
  • gerard0
    gerard0
    Aurais-tu oublié que tu travailles modulo 9 ???

    Sinon, tu rates un fait essentiel sur les restes modulo 9.

    Il faudrait quand même ne pas te contenter d'une vue superficielle !!
  • topalg
    topalg
    gerard0, j'ai très peu fait d'exos sur les congruences, tu peux me dire qu'est ce que j'ai raté sur les restes modulo 9 ?
  • topalg
    topalg
    pour que je puisse avancer
  • Fin de partie
    Fin de partie
    @Topalg:

    Tous les nombres entiers ont une forme parmi celles-ci: $9k,9k+1,9k+2,9k+3,9k+4,9k+5,9k+6,9k+7,9k+8$
    (un entier ne peut pas avoir deux de ces formes)

    Par ailleurs, la question que tu poses doit bien t'interpeller: tu veux calculer le reste d'une infinité de nombres, tu espères trouver un résultat unique quelque soit $n$ entier naturel? Et si ce n'est pas le cas?
  • gerard0
    gerard0
    Écris les restes dans l'ordre. Tu ne vois rien ?????
  • topalg
    topalg
    @gerard0,je vais te dire ce que j'ai fait :quand tu as parlé de l'examen des restes de la division par 9 des $n^{3}$ pour n de 0 à 8 par exemple: pour n=3 $n^{3}$ = 27 est congru à 0 modulo 9, pour n=4 n{^3}=64 est congru à 1 modulo 9 etc , est-ce que déjà ça c'est bon?
  • gerard0
    gerard0
    Ben oui ... mais je parlais des restes, qui sont bien évidemment congrus (définition de la congruence et de la division euclidienne). Car 27 est aussi congru à 18 ou à 81. Mais l'étude des restes est plus intéressante. Tu ne l'as pas finie.
  • topalg
    topalg
    quand tu parles de l'étude des restes tu peux me montrer sur un exemple? J'ai déjà dit que j'étais un débutant sur les congruences...
  • topalg
    topalg
    quand tu dis que que 27 est aussi congru à 18 ou à 81 comment tu t'y es pris pour faire ça?
  • gerard0
    gerard0
    Il serait peut être temps d'apprendre la définition de a est congru à b modulo n.
    C'est étrange que tu ais pu faire les autres congruences sans savoir ça ! Et si tu sais, pourquoi poses-tu ces questions ?

    Tu fais un exercice d'application d'un cours. Quand on veut agir intelligemment, on commence par apprendre le cours, ensuite les exercices d'application sont évidents.
  • Poirot
    Poirot
    Comme ledit gerard0, il faut vraiment que tu revoies la définition d'une congruence. Si tu ne vois pas pourquoi $27 \equiv 18 \text{ mod } 9$ il y a un gros problème.

    On a $a \equiv b \text{ mod } 9$ lorsque $9$ divise $a-b$, autrement dit lorsque $a$ et $b$ diffèrent d'un multiple de $9$. En particulier les entiers de la forme $9m$ (avec $m$ entier) sont congrus à $0$ modulo $9$. Ça devrait te permettre de simplifier $n^3 + 9n^2 + 27n + 27$ modulo $9$ !
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