Tétraèdre magique
dans Arithmétique
Bonjour
Soit un tétraèdre de base ABC et de sommet D.
Sur chaque arête du tétraèdre je place deux points entre les extrémités que je nomme E, F, ..., O, P.
J'ai donc les six arêtes suivantes :
A-E-F-B, B-G-H-C, C-I-J-A, D-K-L-A, D-M-N-B, D-O-P-C.
Placer les 16 nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 en A, B, ..., O, P de manière à ce que les sommes S des 4 nombres de chaque arête soient égales (ce qui donne un tétraèdre magique).
Combien de tétraèdres magiques dénombre-t-on ?
Bien cordialement.
kolotoko
Soit un tétraèdre de base ABC et de sommet D.
Sur chaque arête du tétraèdre je place deux points entre les extrémités que je nomme E, F, ..., O, P.
J'ai donc les six arêtes suivantes :
A-E-F-B, B-G-H-C, C-I-J-A, D-K-L-A, D-M-N-B, D-O-P-C.
Placer les 16 nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 en A, B, ..., O, P de manière à ce que les sommes S des 4 nombres de chaque arête soient égales (ce qui donne un tétraèdre magique).
Combien de tétraèdres magiques dénombre-t-on ?
Bien cordialement.
kolotoko
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Sauf erreur le nombre vaut à 880k, où k est un entier.
En effet, on peut placer les arêtes de ce tétraèdre sur un carré de plus d'une manière,
A- E -F -B J- L- G- N I- H- K- M C- P- O- DBien sûr on peut permuter des points comme N par M, ou bien E par F, ... le tétraèdre reste magique même lorsque le carré ne l'est pas.Donc k décrit le nombre des permutations possibles de ces points, et aussi le nombre des carrés possibles, alors que 880 est le nombre des carrés magiques possibles.
la somme S ne vaut pas nécessairement 34.
Une solution avec S = 37 :
07 - 13 - 11 - 06
15 - 10 - 09 - 03
01 - 08 - 04 - 12
14 - 02 - 05 - 16
Une solution avec S = 40 :
14 - 09 - 05 - 12
08 - 13 - 06 - 01
03 - 07 - 02 - 16
15 - 10 - 04 - 11
Bien cordialement.
kolotoko
Enfin, mon ordinateur ....
merci lourrran.
26x4!x382 = 2217984.
Je vois bien pourquoi on a le facteur 26x4! = 64x24 = 1536.
Mais comment justifier le facteur 382 = 1444 ?
Bien cordialement.
kolotoko
Le facteur 38² va être compliqué à expliquer !
Je pense qu'il faut décomposer.
La somme des 4 nombres de chaque arête peut donner un nombre entre 26 et 42. Combien a-t-on de combinaisons pour chacune de ces valeurs ?
N(26)=30*1536
N(27)=21*1536
N(28)=37*1536
N(29)=36*1536
N(30)=98*1536
N(31)=75*1536
N(32)=106*1536
N(33)=70*1536
N(34)=498*1536
et bien entendu, par symétrie, N(35)=N(33), N(36)=N(32) ... ...
Pour chacune des valeurs, on a bien entendu un multiple de 1536, ouf !
On a une courbe vaguement 'normale' , c'est plus ou moins intuitif. Ok.
Par contre, quand on voit comment les nombres pairs surpassent les nombres impairs, c'est impressionnant. En particulier, Le nombre de solutions pour une somme de 34 est 7 fois plus élevé que pour les nombres voisins ... surprenant.
Pour avoir une somme de 26, on voit très vite qu'il faut forcément mettre les nombres 1,2,3 et 4 aux 4 sommets, et on doit pouvoir expliquer le facteur 30.
Pour les autres, ça va être laborieux !