Une somme avec des nombres premiers

Quentino37 · February 2021

Bonjour
La valeur de cette somme est-elle connue ? Que sait-on de cette somme ?
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3×5}+\frac{1}{2×3×5×7}+\cdots+\frac{1}{2×3×5×\cdots×p_{n}}+\ldots

\] Les seules choses que j'ai réussi à démontrer c'est que la somme converge et est comprise entre \[\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3×5}+\frac{1}{2×3×5×7}+\cdots+\frac{1}{2×3×5×\cdots×p_{n}}
\] et \[\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3×5}+\frac{1}{2×3×5×7}+\cdots+\frac{1}{2×3×5×\cdots×p_{n}}
\] (facilement améliorable pour le terme $1/2^n$)
et qu'on ne peut pas s'écrire sous la forme $\quad a/p_{n},\quad$ avec $a$ entier et $p_n$ un nombre premier
Merci d'avance :-D
A i puissance 4

AlainLyon · February 2021

Quentino37 écrivait :

> Les seuls choses que j'ai réussi à démontrer c'est que la somme diverge et est comprise entre

Tu veux dire converge ?

Quentino37 · February 2021

oui
merci beaucoup
je corrige ça tout de suite!

AlainLyon · February 2021

Quentino37
Si $S$ est la somme, as-tu essayé de mettre $S$ sous la forme
$S\times\frac{2\times 3\times\cdots\times p_n}{2\times 3\times\cdots\times p_n}$ soit réduire au même dénominateur ?
Les $4$ premiers termes de la suite en $n$ sont $1/2,$ $2/3,$ $7/10,$ $74/105.$

noix de totos · February 2021

On pourra regarder cet article et, bien sûr, l'OEIS correpsondante avec les références indiquées, par exemple.

Quentino37 · February 2021

Bonjour!
@AlainLyon merci pour le conseil, je vais essayer
@noix de totos, merci, si j'ai bien compris 'cet article' S(la somme) est irrationnelle(je suis nul en anglais)

A i puissance 4

Quentino37 · February 2021

AlainLyon j'arrive à ça.
S est égale à ça \[\frac{1+p_{n}+p_{n}p_{n-2}+p_{n}p_{n-1}p_{n-2}+\cdots+p_{n}p_{n-1}×\cdots×3}{2×3×5×\cdots×p_{n}}
\] quand $n$ tend vers l'infini.
Que faire après ?

noix de totos · February 2021

Quentino37 : c'est ça.

À ma connaissance, cette somme ne porte pas de nom particulier, tout au plus appelle-t-on parfois primorielles les dénominateurs. Mais ce n'est pas fondamental.

Quentino37 · February 2021

merci noix de totos(tu)

Quentino37 · February 2021

Bonjour,
Et pour la somme des inverse des carrées des factoriel? Pour l'instant je sais que cette somme est irrationnelle.
merci d'avance!

A i puissance 4

noix de totos · February 2021

Si c'est $S := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k!)^2}$ dont tu parles, alors la somme est égale à $I_0(2)$, où $I_\nu$ est la fonction de Bessel modifiée de $1$ère espèce. Les inégalités
$$\forall x > 0, \quad \max \left( 1 \, , \, \frac{2-x}{2+x} \, e^x \right) < I_0(x) < e^x \left( \frac{x+2}{3x+2} \right)$$
impliquent que $1 < S < \frac{1}{2} e^2 \approx 3,7$. Un calculateur fournit $S \approx 2,2796$.

Quentino37 · February 2021

\ si j'ai bien compris?

noix de totos · February 2021

Oui, en prenant cette fois la fonction de Bessel de $1$ère espèce.

Quentino37 · February 2021

Peut-on écrire la valeur de cette somme avec certaines constantes mathématique(pi, e,...) ?

Quentino37 · February 2021

Encore une autre question:
Est-ce que la formule suivante marche:\[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}f(n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-2^{n+1}}{(n+1)!}B_{n+1}f^{n}(0).
\] Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul(:D

je l'ai obtenu en utilisant le développement de Maclaurin puis en utilisant la formule \[1-2^{{n}}+3^{{n}}-\cdots ={\frac {2^{{n+1}}-1}{n+1}}B_{{n+1}}.
\] Merci d'avance:-D
à i puissance 4

noix de totos · February 2021

Pour ta $1$ère question, je dirais pas à ma connaissance.

Pour ta $2$nde question, je te renverrais à cette ancienne discussion.

Quentino37 · February 2021

Si $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, $\ f \in C^{2m+1} \left( \mathbb{R}_+^* \right)$ telle que $f$ et toutes ses dérivées tendent vers $0$ à l'infini en décroissant, alors il existe $\theta \in \left]0,1 \right[$ tel que, pour tout entier $n\geqslant 1$
$$\sum_{k=n}^\infty (-1)^k f(k) = (-1)^n
\Big\lbrace \frac{f(n)}{2} - \sum_{k=1}^m C_{2k}
f^{(2k-1)}(n) - \theta C_{2m+2} f^{(2m+1)}(n)
\Big\rbrace

$$ implique
\[
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}f(n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-2^{n+1}}{(n+1)!}B_{n+1}f^{n}(0).
\]
Car quand $m$ tend vers l'infini le terme contenant le $\theta$ tend vers 0 et on obtient ma formule, à moins que je me trompe ?
$A\, i^{4}$

noix de totos · February 2021

On ne connaît pas la dépendance de $\theta$ en $m$.

D'autre part, en plus des questions de convergence, ce sont les dérivées d'ordre impair qui interviennent dans la série.

Quentino37 · February 2021

Les nombres de Bernoulli impaires (qui sont associés aux dérivées paires) valent 0 donc pas de dérivé paire dans la série ! Sauf pour $B_{1}$ qui vaut $-1/2$.

noix de totos · February 2021

Puisque tu sembles bien apprécier les nombres premiers et, plus généralement, tout ce qui tourne autour de la fonction $\zeta$ de Riemann, voici, en cadeau, un "petit" exercice de calcul de série, dû à Suryanarayana : montrer que
$$\sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k \zeta(k)}{k+1} = 1 + \tfrac{1}{2} \left( \gamma - \log 2 \pi \right).$$
Bon courage !

Quentino37 · February 2021

Merci noix de totos!(:P)

Une somme avec des nombres premiers

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Bonjour!

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