Nombre de solutions de $abx+bcy+acz=n$

Bonjour.

Cela ne revient-il pas à chercher le nombre de solutions de :
\[
a' x + b' y + c' z = n .

\] Avec $a'$, $b'$ et $c'$ en fonction de $a$, $b$ et $c$ ?
Cordialement.

Loin de moi l'idée de vouloir "casser" ton exo, mais :

(i) le fait d'avoir mis $ab$, $bc$ et $ca$ comme coefficients ne simplifie pas le problème par rapport à l'équation classique $ax+by+cz = n$, comme le sous-entend Dreamer plus haut ;

(ii) ta formule, sans doute correcte, n'est pas plus utilisable en pratique que les formules déjà existantes dans la littérature.

À titre d'exemple, voici, avec tes données, deux autres possibilités de réponses, pour lesquelles je note classiquement $D_3(n)$ le dénumérant cherché ici, sous, bien sûr, les hypothèses $(a,b)=(b,c)=(c,a) =1$ :

$\triangleright$ (Ehrhart). Si $r$ désigne le reste de la division de $n$ par $(abc)^2$, alors $D_3(n) = \dfrac{1}{2} \left \lfloor \dfrac{n}{(abc)^2} \right \rfloor \left( n +ab+bc+ca+r \right) + D_3(r)$.

$\triangleright$ $D_3(n) = \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{n}{abc} \right)^2 + O(n)$ et même probablement
$$D_3(n) = \frac{n(n+ab+bc+ca)}{2(abc)^2} + O \left( \max((ab)^2,(bc)^2,(ca)^2) \right).$$

Al-Kashi a écrit:

Le cas général, comme l'a signalé noix de totos, fait apparaitre un terme d'erreur.

Non, tu as aussi une formule dite "close" dans le cas général, voir par exemple cet article.

C'est d'ailleurs à partir de lui que j'ai calculé, vite fait, un terme d'erreur probable.

Mais comme pour ton résultat, en pratique, ces formules sont quasi-inutilisables, et ce d'autant qu'on cherche en général un nombre de solutions pour $n$ suffisamment grand, car on sait que, dans le cas contraire, il peut ne pas y en avoir : c'est le problème de Frobenius.

Il est bien précisé en fin d'article qu'une première version a été proposée en 2017 et a été révisée en septembre 2019, pour être acceptée en mai 2020.

Vu les délais très courts entre publications, c'est difficile de voir l'antériorité, d'autant plus que j'imagine que la première version n'a pas été publiée.

À bientôt.