Nombre de solutions de $abx+bcy+acz=n$
dans Arithmétique
Bonjour
On considère trois entiers $a, b$ et $c$ strictement supérieurs à $1$ et premiers deux à deux. On note $n$ un entier naturel. Démontrer que le nombre de solutions dans $\N^3$ de l'équation diophantienne $abx+bcy+caz=n$ est donné par :
$$
\dfrac{\Big(n-ab(n\overline{ab}^c)_c-bc(n\overline{bc}^a)_a-ca(n\overline{ca}^b)_b+1\Big)\Big(n-ab(n\overline{ab}^c)_c-bc(n\overline{bc}^a)_a-ca(n\overline{ca}^b)_b+2\Big)}{2},
$$ où $(x)_y$ représente le reste de la division euclidienne de $x$ par $y$ et $0<\overline{x}^y<y$ représente l'inverse de $x\mod(y)$.
Al-Kashi
On considère trois entiers $a, b$ et $c$ strictement supérieurs à $1$ et premiers deux à deux. On note $n$ un entier naturel. Démontrer que le nombre de solutions dans $\N^3$ de l'équation diophantienne $abx+bcy+caz=n$ est donné par :
$$
\dfrac{\Big(n-ab(n\overline{ab}^c)_c-bc(n\overline{bc}^a)_a-ca(n\overline{ca}^b)_b+1\Big)\Big(n-ab(n\overline{ab}^c)_c-bc(n\overline{bc}^a)_a-ca(n\overline{ca}^b)_b+2\Big)}{2},
$$ où $(x)_y$ représente le reste de la division euclidienne de $x$ par $y$ et $0<\overline{x}^y<y$ représente l'inverse de $x\mod(y)$.
Al-Kashi
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Réponses
Cela ne revient-il pas à chercher le nombre de solutions de :
\[
a' x + b' y + c' z = n .
\] Avec $a'$, $b'$ et $c'$ en fonction de $a$, $b$ et $c$ ?
Cordialement.
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Oui, je viens de rajouter la précision dans l'énoncé.
Al-Kashi
J'ai rajouté la formule à trouver. On reconnaîtra une forme bien connue, qui donnera certainement une indication pour la solution.
Al-Kashi
(i) le fait d'avoir mis $ab$, $bc$ et $ca$ comme coefficients ne simplifie pas le problème par rapport à l'équation classique $ax+by+cz = n$, comme le sous-entend Dreamer plus haut ;
(ii) ta formule, sans doute correcte, n'est pas plus utilisable en pratique que les formules déjà existantes dans la littérature.
À titre d'exemple, voici, avec tes données, deux autres possibilités de réponses, pour lesquelles je note classiquement $D_3(n)$ le dénumérant cherché ici, sous, bien sûr, les hypothèses $(a,b)=(b,c)=(c,a) =1$ :
$\triangleright$ (Ehrhart). Si $r$ désigne le reste de la division de $n$ par $(abc)^2$, alors $D_3(n) = \dfrac{1}{2} \left \lfloor \dfrac{n}{(abc)^2} \right \rfloor \left( n +ab+bc+ca+r \right) + D_3(r)$.
$\triangleright$ $D_3(n) = \dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{n}{abc} \right)^2 + O(n)$ et même probablement
$$D_3(n) = \frac{n(n+ab+bc+ca)}{2(abc)^2} + O \left( \max((ab)^2,(bc)^2,(ca)^2) \right).$$
Concernant ce qui a été évoqué par Dreamer et le point (i) de noix de totos, je ne suis pas tout à fait d'accord. L'équation proposée ici est un cas particulier où l'on peut justement obtenir une formule exacte qui est celle donnée plus haut. Le cas général, comme l'a signalé noix de totos, fait apparaitre un terme d'erreur.
Al-Kashi
Non, tu as aussi une formule dite "close" dans le cas général, voir par exemple cet article.
C'est d'ailleurs à partir de lui que j'ai calculé, vite fait, un terme d'erreur probable.
Mais comme pour ton résultat, en pratique, ces formules sont quasi-inutilisables, et ce d'autant qu'on cherche en général un nombre de solutions pour $n$ suffisamment grand, car on sait que, dans le cas contraire, il peut ne pas y en avoir : c'est le problème de Frobenius.
Merci pour l'article.
En ce qui concerne le problème de Frobénius, j'ai l'impression d'avoir entendu cela il y a peu de temps...
À bientôt.
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Merci pour ce joli article noix de totos. Je vois que tu as mis close entre guillemets car si j'ai bien compris au delà des calculs d'inverses modulaires, il reste toujours trois sommes à calculer, ce qui n'est pas le cas dans notre cas particulier ici.
Le points 4.2 a tout de suite attiré mon attention. Les auteurs proposent une toute autre méthode pour résoudre $ax+by=n$ qui n'est rien d'autre que celle que j'avais publiée dans la RMS 129-4 en juillet 2019 (voir pièce jointe) . L'article présenté ici date de 2020.
Je ne sais pas quelle est la visibilité de la RMS à l'étranger et je ne voudrais surtout pas remettre en cause le fait que les auteurs ont à nouveau obtenu le même résultat au moins 6 mois après, mais ne serait-il pas à présent plus correct de mettre une référence en fin d'article ?
Al-Kashi
Un mail à l'auteur peut parfois arranger les choses.
Vérifie aussi que ton propre résultat soit effectivement inédit, i.e. n'est pas apparu avant dans la littérature.
Vu les délais très courts entre publications, c'est difficile de voir l'antériorité, d'autant plus que j'imagine que la première version n'a pas été publiée.
À bientôt.
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Merci à vous deux pour toutes ces informations.
Sous les conseils de noix de totos, j'ai envoyé un mail et la réponse a été très rapide :
"Thanks for bringing this to my notice. I will read it carefully and talk to the journal about this.
Regards,
Damanvir"
Al-Kashi