Le nombre 72
dans Arithmétique
Bonjour.
Un bon copain à moi, professeur de mathématiques en retraite, fait 72 ans aujourd'hui, 23 février 2021.
On pourrait lui faire cadeau de propriétés du nombre $ 72$.
J'en ai trouvé quelques-unes : nombre oblong, nombre situé entre deux nombres premiers jumeaux, nombre divisible par la somme de ses chiffres en base dix, nombre de la forme $p^qq^p$, avec $p$ et $q$ premiers distincts.
En voyez-vous d'autres ?
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Un bon copain à moi, professeur de mathématiques en retraite, fait 72 ans aujourd'hui, 23 février 2021.
On pourrait lui faire cadeau de propriétés du nombre $ 72$.
J'en ai trouvé quelques-unes : nombre oblong, nombre situé entre deux nombres premiers jumeaux, nombre divisible par la somme de ses chiffres en base dix, nombre de la forme $p^qq^p$, avec $p$ et $q$ premiers distincts.
En voyez-vous d'autres ?
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Réponses
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Si tu ne l'as pas fait, affiche-le dans l'OEIS. Par exemple
(i) $72 = p_{21}-1$ ;
(ii) Dans une suite de Beatty : $72 = \left \lfloor 45 \times \Phi \right \rfloor$ ;
(iii) $72$ est une valeur de $\sigma^\star$, la fonction somme des diviseurs unitaires : par exemple $\sigma^\star(30)=72$ ;
(iv) $72$ est $3$-friable, i.e. son plus grand facteur premier est $\leqslant 3$ ;
etc. -
Bonjour,
72
n'est pas premier,
n'est pas un nombre de Fibonacci,
n'est pas un nombre de Bell,
n'est pas un nombre de Catalan,
n'est pas une factorielle,
n'est pas parfait,
est représenté par $6^2+6^2$ comme somme de deux carrés. -
Racine carrée du plus grand carré qui divise 9!
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Je lui garantis quarante ans de plus, soit cent' douze ans, si toutefois il préfère l'homophonie régionale à l'orthographe académique.
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J’ai toujours eu 45 ans de plus que ton père » dit une grand-mère à son petit-fils. « Mais aujourd’hui, les deux chiffres de mon âge sont exactement les mêmes que ceux de ton père. Et en plus nos deux âges sont divisibles par 9 ! » Quel âge a la grand-mère ?
-
Il est si doux, zen...
J'arrête. -
Salut
Une collections des carrés magiques! -
Pour les petits
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François Le Lionnais cite 72 dans ses "nombres remarquables" pour une propriété du groupe cyclique à 72 éléments.
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Montrer que l'équation diophantienne
$x^y+xy+x+y=x.y$
a une solution solennelle. ("." est la concaténation; la base est dix) -
Encore plus,
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« nombre divisible par la somme de ses chiffres en base dix »
J’ai regardé, dans beaucoup bases, ça reste vrai :-) -
Encore un carré magique, mais cette fois c'est pour tout ordre n multiple de 4, où il ne faut pas oublier d'ajouter le nombre (144+n-n3)/2n pour que la somme magique donne toujours 72.
[n] est la partie entière de n, |n| la valeur absolu , et a mod (2) c'est un résidu i.e 0 ou 1. -
-
Quand j'étais élève en mathsup, notre professeur de math (André Warusfel) a fêté ses 36 ans.
Pour satisfaire à une tradition nous lui avons offert 36 propriétés du nombre $36$ (comme par exemple $3!6=36$).
Ce n'était pas trop difficile pour $36$ mais l'année suivante la tradition a été abandonnée (on comprend pourquoi !)
Pour revenir au cas de $72$, je propose : $72$ est le seul entier naturel inférieur à $100$ qui est puissant mais qui n'est pas une puissance.
On dit que $n$ est puissant si pour tout nombre premier $p$ divisant $n$, $p^2$ divise aussi $n$. Une puissance est un entier qui s'écrit $a^k$ avec $k\geq2$.
Dans le "Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers", de Daniel Lignon paru chez ellipses on trouve quelques propriétés de $72$, par exemple :
$72$ est le seul entier égal à 8 fois la somme de ses chiffres (en base 10).
$72$ est le plus petit entier dont la puissance cinquième est égale à la somme de cinq puissances cinquièmes :
$72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5$. -
BonjourJean-Michel Goldbach a écrit:
72 = 41 + 31
72 = 43 + 29
72 = 53 + 19
72 = 59 + 13
72 = 61 + 11
72 = 67 + 5
Sinon, apprends-lui à multiplier sur ses doigts : (rappel)Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
La suite de terme général $ u_n=\lfloor \frac {144n-1}{142} \rfloor$ avec $n \geq1$ donne tous les entiers qui ne sont pas multiples de $72$
-
La suite de terme général $v_n= \lfloor \frac{200n+55}{198} \rfloor $ avec $n \geq 1$ donne tous les entiers dont l’écriture décimale ne se termine pas par $72$.
-
Tout rationnel strictement positif est la somme
de trois cubes rationnels strictement positifs.
$$
3.86^3+2.32^3+1.26^3=72
$$ -
Bonjour.
Typo dans le message précédent ? Edit : ok, j'ai confondu le séparateur décimal avec un signe de multiplication. 72 est aussi somme de trois cubes d'entiers relatifs : $7^3 + 9^3 - 10^3$
Pour ma part, j'ai trouvé (c'est très simple) : $\sqrt{7396} - \sqrt{196} = 72$ avec $7396-196 = 7200$
Cordialement.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Bonjour,
72 = ab x ba avec a = 2 et b = 3 .
Bien cordialement.
kolotoko -
Non il n'y a pas de typo dans le résultat de soland : $386^3+232^3+126^3=72000000$
-
Écrire un entier comme somme de cubes d'entiers relatifs est aussi un problème intéressant.
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Bonjours,
Etant donné que tout le monde sait que 0 ne doit pas être considéré comme étant un oblong, on peut dire que 72 est le plus petit oblong qui soit la somme de deux oblongs consécutifs:
5x6 + 6x7 = 8x9 = 2x62
Le suivant est: 34x35 + 35x36 = 49x50 qui est, lui aussi le double d'un carré: 2x352
Et ceux qui suivent aussi.(il y en a une infinité). -
Sinon un article du séminaire Bourbaki de la 72 ème année Texte Bourbaki 72 ème année
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Autre suggestion le problème numéros 72 de AMM American Mathematical Monthly, c’est le volume 3 issue 12 de l’année 1896 . A vérifier.
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Autre chose intéressante le problème 72 de la rubrique Question&Reponse de la célèbre RMS Revue de Mathématiques Spéciale
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\[\int oi \times ante \quad {\rm d} \,ouze = 72\]
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Si a679b est un nombre à cinq chiffres (en base 10) et est divisible par 72, alors les valeurs de a et b sont respectivement . . .
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Cidrolin peux-tu nous trouver l’exos suivant en pdf merci
etanche écrivait:
> Autre suggestion le problème numéro 72 de AMM American Mathematical Monthly, c’est le volume 3 issue 12 de l’année 1896 . À vérifier. -
L'exercice demandé :
L'octidi 8 ventôse, de l'année CCXXIX du calendrier républicain, jour de la violette. -
En géométrie, le 72 était :
-
$72$ est la somme de deux cubes : $72=2^3+4^3$
et la différence de deux carrés : $72=9^2-3^2$. -
$72=4+5+6+7+8+9+10+11+12$
-
$72$ est le premier multiple de $9$ de la forme $2^a+2^{2a}$, le deuxième étant $262656$.
-
Bonjour.
Je ne sais pas si cela peut être déduit des messages précédents, mais je suis tombé sur ceci un peu au hasard :
\[72 = 7^2 + 7 \cdot 2 + 7 + 2\]
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Outre que 72 est un oblong qui est la somme de deux oblongs consécutifs, c'est aussi un oblong qui est le produit de deux oblongs consécutifs:
72 = 8x9 = 5x6 + 6x7 = (2x3) x (3x4)
Attention à ne pas parler de plusieurs oblongs dans une salle de potaches.
D'ailleurs ,si, comme il a été dit, 72 est encadré par les premiers jumeaux 71 et 73 on voit que tous les oblongs considérés ici sont dans le même cas: 5x6 est entre 29 et 31; 6x7 est entre 41 et 43; 2x3 est entre 5 et 7; 3x4 est entre 11 et 13.
Existe-t-il un autre nombre que 72 qui possède toutes ces propriétés ? Problème ouvert. -
Très joli ! Sauf erreur c'est le seul nombre de deux chiffres, avec $18$, à pouvoir se décomposer de la sorte.
-
Effectivement, j'ai vérifié et le seul autre nombre naturel qui a cette propriété est bien 18.
Ce qui est amusant c'est que ces deux nombres sont multiples de 9.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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J'ai pas trouvé grand chose, néanmoins, je suis légèrement satisfait de moi pour cela, au risque de me répéter très souvent :
$ 72 = 3.3.3+3.3.3+3.3+3.3 = (7+2)(7+\frac{2}{2}) = (2^{2+ \frac{2}{2}})(\frac{2}{2} + 2^{2+ \frac{2}{2}}) $
$72 = 4.4.4 + 4+4+4 = (1+1+1+1)!(1+1+1) = (5.5)(5-\frac{5+5}{5})$
$72 = (6.6)(\frac{6+6}{6}) = 7.7 + 7\times\frac{7+7+7}{7} + \frac{7+7}{7} = (8)(8+\frac{8}{8}) =(9)(9- \frac{9}{9})$
$72 = (10-\frac{10}{10})(10-\frac{10+10}{10}) = (11)(\frac{11+11+11}{11})! + \lceil \frac{11}{11+11}\times11 \rceil$
$72 = (12)({\dfrac{12}{(\frac{12+12}{12})}})$ -
1) 18 n'est pas, avec 72, le seul nombre de deux chiffres qui est la somme de deux oblongs il y a aussi 32, par exemple. En effet 32 = 3x4 + 4x5.
2) 18 n'est pas le produit de deux nombres oblongs.
Rappel: un nombre oblong est un naturel non nul qui est le produit de deux entiers naturels consécutifs; il est donc de la forme a(a+1) où a est un naturel non nul. On note parfois l'oblong a(a+1) sous la forme a[2].
On retrouve d'ailleurs l'identité remarquable:
(a + b)[2] = a[2] + 2ab + b[2] , qui se généralise si on pose de même a[n] = a(a+1)(a+2).....(a+n-1).
On obtient l'analogue de la formule de Newton. -
Concernant $18$, je faisais référence à la décomposition de Dreamer.
-
Merci pour l'information. Bonne soirée.
-
La première factorielle se terminant avec 72 zéros est 295!.
D’ailleurs, 72! contient deux fois 72 (la chaîne de caractère).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
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