Carré dans $\mathbb F_q$

Julia Paule · March 2021

Bonjour

Dans $\mathbb F_q,\ q=p^n$ impair, on montre que $x$ est un carré non nul ssi $x^{\frac{q-1}{2}}=1$.
Supposons que $x^{\frac{q-1}{2}}=1$.

- si $q \equiv 3 (4)$, alors $q+1=4k$, on a $x=x . x^{\frac{q-1}{2}}=x^{\frac{q+1}{2}}=(x^k)^2$. Donc on a $x$ sous forme d'un carré explicite fonction de $x$.

- si $q \equiv 1 (4)$, peut-on obtenir $x$ de la même façon ?

Merci d'avance.

JLT · March 2021

Non. Par exemple pour $q=5$, $x=\overline{4}$ est un carré, mais n'est pas le carré d'une puissance de $x$.

NoName · March 2021

Plus généralement si c'est possible, alors ca veut dire que dans $G=\mathbb{Z}/(q-1)$ on aurait $y\in 2G$ ssi $y=2my$ avec $m$ un certain entier, donc l'ordre de $y$ est impair et donc $2G$ est lui même d'ordre impair et donc $(q-1)/2$ est divisible par un nombre impair, si $y$ n'est pas $1$ alors ce nombre impair est strictement plus grand que $1$, et donc $(q-1)/2=2r+1$ soit $q=4r+3$.
En particulier sauf pour le cas trivial $x=1$ (et $1=1^2$) ce ne sera jamais possible dans le cas $q=1[4]$.