Éléments des corps finis
dans Arithmétique
$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$Un doute m'assaille. Prenons $\F_9$ par exemple, corps fini de caractéristique $3$. On peut l'obtenir avec $\F_9=\F_3[X] / (X^2+1)$ (car $X^2+1$ est irréductible dans $\F_3$ de degré 2). Appelons $\alpha$ l'image de $X$.
$\F_9$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\F_3$ de base $(1, \alpha)$. De là, on obtient tous les éléments de $\F_9$, et on a la règle $\alpha^2=-1$.
On sait que $\F_9$ est l'ensemble des racines du polynôme $X^9-X \in \F_3[X]$ et que $\F_9^*$ est cyclique.
J'ai plusieurs questions :
1) on peut donc par exemple représenter $\F_9$ par $\{ 0 \} \cup \{$ racines complexes 8èmes de l'unité $\}$ ?
2) $\F_9$ est un corps, donc $5=1+1+1+1+1$ par exemple existe dans $\F_9$. Comme fait-on pour le "calculer" dans la base ($1,\alpha)$ ?
$\F_9$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\F_3$ de base $(1, \alpha)$. De là, on obtient tous les éléments de $\F_9$, et on a la règle $\alpha^2=-1$.
On sait que $\F_9$ est l'ensemble des racines du polynôme $X^9-X \in \F_3[X]$ et que $\F_9^*$ est cyclique.
J'ai plusieurs questions :
1) on peut donc par exemple représenter $\F_9$ par $\{ 0 \} \cup \{$ racines complexes 8èmes de l'unité $\}$ ?
2) $\F_9$ est un corps, donc $5=1+1+1+1+1$ par exemple existe dans $\F_9$. Comme fait-on pour le "calculer" dans la base ($1,\alpha)$ ?
Réponses
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1)Qu'est ce que ca veut dire "représenter"? Y a une bijection oui, avec tout ensemble d'ordre 9 aussi. Mais il n'y a aucun morphisme d'anneau.
Bien sur $\mathbb{F}_9^*$ est cyclique donc oui, il est isomorphe à $\mu_8(\mathbb{C})$, mais cet isomorphisme est non canonique.
2) C'est 2 ($2.1+0\alpha$ si tu preferes.) -
Merci beaucoup NoName, je crois comprendre. La question à se poser est : "est-ce qu'il y a un morphisme d'anneau ?" pour obtenir une "bonne" représentation ! S'il n'y en pas, cela n'en est pas une, c'est une simple bijection.
Je vais essayer de démontrer qu'il n'y a pas de morphisme d'anneau. -
Ce que je voulais dire c'est que l'ensemble des racines de l'unité n'est pas un anneau (enfin c'est pas un sous anneau de C).
Mais tu peux aussi remarquer qu'il n'y a pas de morphisme d'une $\mathbb{F}_q$-algèbre dans une $\mathbb{Q}-$algèbre.
Donc tu ne peux pas réaliser un corps fini comme un sous anneau de $\mathbb{C}$ -
De la même manière, tu peux très bien t'amuser à dire que $\mathbb N$ est un corps, puisqu'il peut "représenter" $\mathbb Q$ via une bijection, mais ça n'a évidemment aucun intérêt.
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Il n'y a pas de morphisme d'anneaux, parce que simplement $\{ 0 \} \cup \{$ racines complexes $8$èmes de l'unité $\}$ n'est pas un anneau, c'est encore moins un corps, donc ce n'est pas une bonne représentation de $\F_9$.
De manière générale, pour $n$ un entier naturel, comment peut-on écrire $n.1_{\F_9}$ dans la base $(1_{\F_9}, \alpha)$ ? -
Ben, n est un élément de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, non ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Heu non, si c'était le cas, il n'y aurait que 3 valeurs pour n.1, et il en faut 9.
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Ben non, l'image de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{F}_{3^n}$ c'est $\mathbb{F}_{3}$.
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L'image de Z par quelle application, peux-tu être plus clair ?
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L'image de l'unique morphisme d'anneau de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{F}_{3^n}$ (enfin $3$ ne joue aucun role ici).
Autrement dit l'image de l'application que tu considères $n\mapsto n.1$ -
Ok merci. Donc si je comprends bien, ce morphisme n'est pas surjectif (déception, je ne sais pas pourquoi, je m'étais convaincue qu'il l'était).
Alors je me demande comment $F_9^*$ peut être cyclique, enfin il n'est certainement pas engendré par un élément de l'image du morphisme, donc plutôt par $\alpha$. Mais $\alpha^2=-1$, on est vite arrêté, il faut 8 éléments ; $2+\alpha$ peut-être ? -
oui, c'est ça, $\alpha-1$ engendre $F_9^*$ avec successivement $\alpha-1, \alpha, - \alpha-1, -1, - \alpha+1, - \alpha, \alpha+1, 1$. Merci beaucoup pour votre lanterne !
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Enfin bon, rien n'empêche de représenter $\F_9$ par n'importe quel ensemble représentable géométriquement, si on munit cet ensemble des lois de $\F_9$.
Une meilleure représentation serait un carré $\{-1,0,1\} \times \{-1,0,1 \}$, avec en abscisse : $\F_3$, en ordonnée : $\alpha \F_3$. L'addition est celle des vecteurs modulo $3$, la multiplication est particulière : il faut l'énoncer au cas par cas. Un générateur est $(1,1)$, on a $(1,1)^2=(0,-1)$, etc. On peut chercher l'ensemble des générateurs, ou une façon d'énoncer la loi multiplicative "géométriquement".
Pourquoi vouloir représenter les corps finis ? Pour me rappeler plus rapidement de ce qu'ils représentent 6 mois après, après avoir vu toute autre chose :-D. -
Dans $\Z [ i]$ la mutiplication par $i$ c'est la rotation d'angle $\pi/2$ et bien dans ton dessin la multiplication par $\alpha$ c'est la multilication d'un quart de tour $(x,y) \mapsto (-y,x)$ modulo $3$ sur chaque composante :-D
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Bonjour
Pourquoi parler de dessin sans effectivement dessiner de dessin ?
D'autre part, $\F_9=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/(P)$ est également parlant, si on est familier des quotients, avec $\F_9^*$ groupe cyclique isomorphe à $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.
Ici $P$ est un diviseur irréductible de $X^9-X$, polynôme minimal de l'un des générateurs du groupe $\F_p^*$.
Cordialement,
Rescassol -
On peut remarquer que $\mathbb{F}_9=(\Z/3\Z[X])/(X^2+1)\cong (\Z[X]/(X^2+1))
/(3)\cong \Z [ i]/(3)$. -
Bonjour,
Effectivement, JLT, il est difficile de trouver plus intuitif que $\Z [ i]/(3)$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Merci. Avec le polynôme de Rescassol, on obtient ainsi directement un générateur de $F_9$. Ok pour l'isomorphisme de JLT. Mais dans les 2 cas, je ne vois pas au niveau du dessin ce que cela donne pour la multiplication dans $F_9$ . -
Pour $\Z[ i]/(3)$, les éléments du corps s'identifient à $\{-1,0,1\}^2$ et la multiplication par $i$ est la rotation d'un quart de tour.
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Bonjour,
Désolée pour ma réponse tardive, je suis sur plusieurs sujets en même temps.
Je disais que je ne voyais pas ce que cela donne au niveau du dessin parce que géométriquement le quart de tour n'est pas un générateur de $\mathbb{F}_9^*$, et même un générateur de $\mathbb{F}_9^*$ ne donne pas non plus géométriquement la multiplication de deux éléments quelconques (comme peut le donner par exemple dans $\mathbb{C}$ la multiplication par un complexe : on multiplie les modules et on ajoute les arguments qu'on réduit modulo $2 \pi$, sachant que $0$ est un élément absorbant), sans l'énoncer au cas par cas.
Mais en fait on peut appliquer la même règle en l'adaptant : on ajoute les arguments et on les réduit modulo $2 \pi$, et on multiplie les modules et on les réduit modulo $3$, sachant que $0$ est absorbant pour la multiplication ; exemple $(-1+i)(-1-i)=2=-1$. Merci.
Ceci est une bonne représentation géométrique du corps $\mathbb{F}_9$.
Cela marche pour $\mathbb{F}_9$, je ne suis pas sûre que cela marcherait aussi bien pour $\mathbb{F}_{27}$ ou pour $\mathbb{F}_{16}$. (si j'ai le temps). -
On ne réduit pas les modules et les arguments modulo $3$ mais ce sont les parties réelle et imaginaire qu'on réduit modulo $3$.
N.B. La représentation graphique pour $\mathbb{F}_9$ se généralise à $\mathbb{F}_p$ pour $p$ premier congru à $3$ modulo $4$, mais pas à un corps fini arbitraire. -
Je ne parlais que des arguments bien sûr. Euh oui pour les modules, je voulais parler des parties réelles et imaginaires.
Ok je vais réfléchir à ta généralisation. Merci JLT.
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Bonjour!
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