Éléments des corps finis
dans Arithmétique
$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$Un doute m'assaille. Prenons $\F_9$ par exemple, corps fini de caractéristique $3$. On peut l'obtenir avec $\F_9=\F_3[X] / (X^2+1)$ (car $X^2+1$ est irréductible dans $\F_3$ de degré 2). Appelons $\alpha$ l'image de $X$.
$\F_9$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\F_3$ de base $(1, \alpha)$. De là, on obtient tous les éléments de $\F_9$, et on a la règle $\alpha^2=-1$.
On sait que $\F_9$ est l'ensemble des racines du polynôme $X^9-X \in \F_3[X]$ et que $\F_9^*$ est cyclique.
J'ai plusieurs questions :
1) on peut donc par exemple représenter $\F_9$ par $\{ 0 \} \cup \{$ racines complexes 8èmes de l'unité $\}$ ?
2) $\F_9$ est un corps, donc $5=1+1+1+1+1$ par exemple existe dans $\F_9$. Comme fait-on pour le "calculer" dans la base ($1,\alpha)$ ?
$\F_9$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\F_3$ de base $(1, \alpha)$. De là, on obtient tous les éléments de $\F_9$, et on a la règle $\alpha^2=-1$.
On sait que $\F_9$ est l'ensemble des racines du polynôme $X^9-X \in \F_3[X]$ et que $\F_9^*$ est cyclique.
J'ai plusieurs questions :
1) on peut donc par exemple représenter $\F_9$ par $\{ 0 \} \cup \{$ racines complexes 8èmes de l'unité $\}$ ?
2) $\F_9$ est un corps, donc $5=1+1+1+1+1$ par exemple existe dans $\F_9$. Comme fait-on pour le "calculer" dans la base ($1,\alpha)$ ?
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Réponses
Bien sur $\mathbb{F}_9^*$ est cyclique donc oui, il est isomorphe à $\mu_8(\mathbb{C})$, mais cet isomorphisme est non canonique.
2) C'est 2 ($2.1+0\alpha$ si tu preferes.)
Je vais essayer de démontrer qu'il n'y a pas de morphisme d'anneau.
Mais tu peux aussi remarquer qu'il n'y a pas de morphisme d'une $\mathbb{F}_q$-algèbre dans une $\mathbb{Q}-$algèbre.
Donc tu ne peux pas réaliser un corps fini comme un sous anneau de $\mathbb{C}$
De manière générale, pour $n$ un entier naturel, comment peut-on écrire $n.1_{\F_9}$ dans la base $(1_{\F_9}, \alpha)$ ?
-- Schnoebelen, Philippe
Autrement dit l'image de l'application que tu considères $n\mapsto n.1$
Alors je me demande comment $F_9^*$ peut être cyclique, enfin il n'est certainement pas engendré par un élément de l'image du morphisme, donc plutôt par $\alpha$. Mais $\alpha^2=-1$, on est vite arrêté, il faut 8 éléments ; $2+\alpha$ peut-être ?
Une meilleure représentation serait un carré $\{-1,0,1\} \times \{-1,0,1 \}$, avec en abscisse : $\F_3$, en ordonnée : $\alpha \F_3$. L'addition est celle des vecteurs modulo $3$, la multiplication est particulière : il faut l'énoncer au cas par cas. Un générateur est $(1,1)$, on a $(1,1)^2=(0,-1)$, etc. On peut chercher l'ensemble des générateurs, ou une façon d'énoncer la loi multiplicative "géométriquement".
Pourquoi vouloir représenter les corps finis ? Pour me rappeler plus rapidement de ce qu'ils représentent 6 mois après, après avoir vu toute autre chose :-D.
Pourquoi parler de dessin sans effectivement dessiner de dessin ?
D'autre part, $\F_9=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/(P)$ est également parlant, si on est familier des quotients, avec $\F_9^*$ groupe cyclique isomorphe à $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.
Ici $P$ est un diviseur irréductible de $X^9-X$, polynôme minimal de l'un des générateurs du groupe $\F_p^*$.
Cordialement,
Rescassol
/(3)\cong \Z [ i]/(3)$.
Effectivement, JLT, il est difficile de trouver plus intuitif que $\Z [ i]/(3)$.
Cordialement,
Rescassol
Merci. Avec le polynôme de Rescassol, on obtient ainsi directement un générateur de $F_9$. Ok pour l'isomorphisme de JLT. Mais dans les 2 cas, je ne vois pas au niveau du dessin ce que cela donne pour la multiplication dans $F_9$ .
Désolée pour ma réponse tardive, je suis sur plusieurs sujets en même temps.
Je disais que je ne voyais pas ce que cela donne au niveau du dessin parce que géométriquement le quart de tour n'est pas un générateur de $\mathbb{F}_9^*$, et même un générateur de $\mathbb{F}_9^*$ ne donne pas non plus géométriquement la multiplication de deux éléments quelconques (comme peut le donner par exemple dans $\mathbb{C}$ la multiplication par un complexe : on multiplie les modules et on ajoute les arguments qu'on réduit modulo $2 \pi$, sachant que $0$ est un élément absorbant), sans l'énoncer au cas par cas.
Mais en fait on peut appliquer la même règle en l'adaptant : on ajoute les arguments et on les réduit modulo $2 \pi$, et on multiplie les modules et on les réduit modulo $3$, sachant que $0$ est absorbant pour la multiplication ; exemple $(-1+i)(-1-i)=2=-1$. Merci.
Ceci est une bonne représentation géométrique du corps $\mathbb{F}_9$.
Cela marche pour $\mathbb{F}_9$, je ne suis pas sûre que cela marcherait aussi bien pour $\mathbb{F}_{27}$ ou pour $\mathbb{F}_{16}$. (si j'ai le temps).
N.B. La représentation graphique pour $\mathbb{F}_9$ se généralise à $\mathbb{F}_p$ pour $p$ premier congru à $3$ modulo $4$, mais pas à un corps fini arbitraire.
Ok je vais réfléchir à ta généralisation. Merci JLT.