Exercice niveau terminale

Il me semble le théorème d’Euler donne ce tu veux Euler’s totient

remplacer n par $2^{n+1}$

Dans la démo par récurrence, l'initialisation n'est pas bonne.

Dans la phase hérédité, il y a aussi une erreur, mais je pense que cette erreur est malheureusement très fréquente en terminale.
Tu commences en écrivant : supposons que quelque soit n entier, telle propriété est vraie.

Faux.

Si tu commences par supposer que cette propriété est vraie pour tout entier n, il n'y a plus rien à démontrer.

La phrase pour l'hérédité, la seule, à recopier telle quelle dans toute démonstration par récurrence, c'est :
Soit n un entier naturel, supposons la propriété vraie pour n, et montrons qu'elle est vraie aussi pour n+1.

Ou parfois, si on parle de récurrence forte (mais je pense qu'en terminale, ça n'arrive jamais) :
Soit n un entier naturel, supposons la propriété vraie pour tous les entiers entre 0 et n, et montrons qu'elle est vraie aussi pour n+1.

Une autre chose suspecte.
On voit trois « points » dans la première méthode :

• $a$ divise $c$
• $b$ divise $c$
• donc $a\times b$ divise $c\times d$.

Tel quel, ce n’est pas vrai quels que soient $a$, $b$, $c$ et $d$.

Oui c’est ce que je me suis dit, à l’instant.
Ouf !
Cela dit, modulo $2$, $1$, c’est $-1$.

Tu as probablement hésité entre soit $n \in \N$ soit $n \in \N^*$ , et tu as choisi la 2ème version.
Parfois, c'est sans conséquence.
Ici, pas de chance, ça fait que ta démonstration n'est pas bonne.

On peut améliorer l'énoncé de ce fil.
Pour tout entier $a$ impair et tout entier $n\geq 1$, $a^{2^n}\equiv 1\bmod 2^{n+2}$.

Salut à tous

Lourran a écrit:
La phrase pour l'hérédité, la seule, à recopier telle quelle dans toute démonstration par récurrence, c'est :
Soit n un entier naturel, supposons la propriété vraie pour n, et montrons qu'elle est vraie aussi pour n+1.

pourquoi ne peut-on pas écrire l'implication,
hérédité, nous allons montrer si n alors n+1

ne rien marquer et le faire , oui je préfère.

Prenons un exemple idiot mais différent de l'exo du message qui est du pour tout n de IN, loin d'étre toujours le cas.

On doit montrer:
pour tout n de IN supérieur ou égal à 20,
4n supérieur ou égal à 40

(ok c'est stupide, mais c'est pour l'exemple.

Je ne fais pas l'initialisation en premier, exprès.

je fais sans le dire l'hérédité:

4n sup 40 alors 4(n+1) = 4n +4 supérieur à 40
l'hérédité marche super bien, si n tel que 4nsup 40, alors n+1 verifie 4(n+1) sup 40

Et maintenant l'initialisation,
n=2 , alors 4x2 =8 j'ai pas n vrai donc je ne peux pas en déduire vrai pour n=3
n= 9 alors 4x9 = 36 j'ai pas n vrai, alors je ne peux pas déduire pour n=10
n=10 alors 4x10 = 40, ouf j'en ai un n vrai,
bon ben maintenant c'est vrai pour tous les n+1
Donc j'ai démontré pour n sup ou égal à 20

Bon l'exemple pris pour dire je n'ai pas de précaution à prendre dans mon implication sur la véracité de n
c'est l'initialisation qui le fait, non?
Bon ok, il est plus malin de trouver une initialisation avant de se coltiner l'hérédité.
Mais sur le principe.
Pourquoi prendre ces précautions de phrasés comme dans la phrase de Lourran?

Tu pourrais te passer de comment on apprend les sciences et les maths en médecine.

Ce dont on parle, oui la phrase de Lourran est de l'apprentissage.
Et pourquoi est-elle nécessaire?
Parce qu'on a supprimé l'implication au lycée.
la voilà la raison
le si A alors B est interdit au lycée, alors on paraphrase.

j'ai appris les maths au lycée avec du si A alors B où le A était vrai sans avoir à le dire.
Et l'implication "complète" était apprise en postbac par les matheux.

En gros, cela disait
Si j'ai A alors j'ai B ca sle plus général
Si j'avais A alors j'aurais B cas utilisé lors des démonstration par l'absurde
Quand j'aurais n alors j'aurais n+1 qui marchait bien pour la récurrence.

de nos jours, on apprend l'implication
quand il ya équivalence, comme si ce n'était pas une double implication!!
avec paraphrase si tu en as besoin réellement pur un sens seulement

beagle : hérédité, nous allons montrer si n alors n+1 "

Gérard : Heu ... ça ne veut rien dire !!

Bon, je pense que beagle voulait dire : si c’est vrai pour n alors c’est vrai pour n+1.
Et le « c’est vrai » c’est bien la propriété noté $P$ etc.
J’analyse cela comme un raccourci de beagle pour le dire rapidement dans la discussion, un peu comme on fait à l’oral parfois dans l’instant de la discussion.

Un fois rectifié (car en effet dit comme ça, ça ne veut rien dire), je remarque qu’il manque aussi le quantificateur sur $n$ qui m’apparaît essentiel. Certains diront certainement que j’exagère.

La phrase mathématique de la fin du message de Gérard avec le $\forall$ est toute simple, très courte et il n’y a surtout pas plus clair.
NB : que ce soit écrit avec un $\forall$ ou en français, tout me va. Je me fiche du symbole ici.

Oui cela m’étonne également.
Les symboles $=>$ et leurs copains, oui, c’est arrivé qu’on les interdise.
Mais le « si ... alors ... », ça m’intrigue.

Éventuellement : on « interdit » la logique pour la logique, ça c’est vrai.

beagle : je crois voir ce que tu veux dire. Je pense que tu n'as pas compris...

admettons que l'usage de l'implication était si A vrai alors B
il me semble que à cette époque on ne devait pas mettre:" montrer pour tout n

car j'aurais été incapable de montrer
pour n= 2 si 4n sup 40 alors 4(n+1) sup 40 l'est aussi
n=2 ne rentrant pas dans l'hypothèse 4n sup 40

L'usage était si j'ai A, si j'avais A, quand j'aurais A

Je suis d'accord avec gerard0 : c'est du charabia !

Oui, Philippe, moi aussi !

Ah oui... tu valides que tu ne te relis pas (je ne donne pas de leçon...).

On s’en fiche ici, il me semble.
Soit $n$ un entier, on suppose $P(n)$.
On doit juste montrer avec des « donc » autorisés (par les règles mathématiques) que l’on a $P(n+1)$.

D’ailleurs on connaît des exemples où l’hérédité se prouve sans être initialisée.

Je sais prouver par exemple, en seconde ou au collège en 4e que :
S’il existe des entiers $a$, $b$ et $c$ tels que : $a^5+b^5=c^5$ alors $(2a)^5+(2b)^5=(2c)^5$.
En utilisant les règles rudimentaires.

Pour ma part je dis ce qu’est la lettre $n$ grâce au « soit $n$ un entier ».
Je déclare mes lettres.

En effet imagine que tu arrives à démontrer $P(0)$ puis que pour un entier $n$ entre $100$ et $200$, $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
Sauras-tu conclure que « pour tout entier $n$, $P(n)$ » ?

La discussion sur la contraposée n’a rien à voir.
Pour le dire en un mot : certains disent « c’est évident » et d’autres disent « non, ce n’est pas évident, ça se démontre ».
On peut même oublier le nom « contraposée ».

Enfin, Gérard, que je salue, utilise un ton sec. On a le droit de le déplorer. Plusieurs lui ont déjà dit.
À vrai dire je ne trouve pas que ce soit malveillant, mais c’est subjectif peut-être.
Ça ne m’intéresse pas de parler des gens et de leurs caractères mais plutôt de ce qu’ils disent.

Mais si j’avais lu.
Je ne dis pas que c’est banal.

Il dit que faire réciter n’est pas la meilleure méthode. Sauf qu’il ne prend pas de gant.

Sur l’échelle de « mon insupportable perso perso à moi » il y a plein d’autres propos que je classe bien plus insupportables sur ce forum.

Cela dit. Je crois que je vais arrêter. Ça ne m’intéresse pas.
Je ne sais pas quoi faire. Tu sembles sincère, c’est tout ce que je puis dire.