Une formule

Keynes
Keynes
dans Arithmétique
Bonjour à tous. J'aimerais savoir si ce résultat a été déjà prouvé.
$$ \sum_{n\leq x :\phi(n)=n-1}\!\!n\ \underset{+\infty}\sim\ \frac{x^2}{2\big(\ln(x)\big)} $$

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Il est vrai ? Numériquement, j'y croirais plus sans le carré au dénominateur. In: 
    def T(n):
    return add(k for k in range(n) if euler_phi(k)==k-1)

def r(k):
    return T(k)/k^2*2.*ln(k*1.)

r(10000); r(100000); r(1000000); r(200000)
    Out: 
    1.05668319336885
1.04628669240432
1.03755595120912
1.04337558591677
  • noix de totos
    noix de totos
    La somme est égale à $\displaystyle \sum_{p \leqslant x} p$ (où je rappelle qu'une somme indicée par $p$ ne porte que sur les nombres premiers). Ainsi, par sommation partielle et l'utilisation d'une forme faible du TNP
    $$\sum_{\substack{n \leqslant x \\ \varphi(n)=n-1}} n = \sum_{p \leqslant x} p = x \pi(x) - \int_2^x \pi(t) \, \textrm{d}t = \frac{x^2}{2\log x} + O \left\{ \left( \frac{x}{\log x} \right)^2 \right\}.$$
  • Keynes
    Keynes
    @Noix de Totos j'ai une question si la somme $\sum_{p\leq x}p=\sum_{n\leq x: \phi(n)=n-1}n$
    et que $E_{x}=\{p\leq x\} \subset \{ n\leq x:\phi(n)=n-1\}$
    alors $ E_{x}=\{p\leq x\} = \{ n\leq x:\phi(n)=n-1\}$

    Pourquoi ceci ne pourrait pas aider à conclure à la conjecture de Lehmer
  • noix de totos
    noix de totos
    Keynes.

    L'équivalence $\varphi(n)=n-1 \iff n$ est premier est quasiment évidente.

    Le problème de Lehmer est : a-t-on la même équivalence si l'on remplace le signe $=$ par le symbole "divise".
  • Keynes
    Keynes
    Merci @Noix de totos j'ai vu bien la difficulté .
    la somme à évaluer est $ \sum_{n\leq x:\phi(n)\mid n-1} n$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

3 Invités