Une équation diophantienne

C'est une vaste question : il s'agit de savoir si $c$ est une norme dans l'anneau $\mathbb Z[\sqrt p]$. La norme étant multiplicative, on ramène le problème au cas où $c$ est un nombre premier, et sur ce sujet il y a un magnifique livre de Cox intitulé Primes of the form $x^2+ny^2$, qui te permettra de voir l'ampleur de la chose.

Bonjour Amédé,
Voici une réponse à la question soulevée par ton dernier message:
$$\boxed{\forall x,y \in \Z,\qquad x^2+23y^2 \:\:\text{et}\:\: x^2+46y^2 \:\text{sont des carrés d'entiers}\:\:\iff \:\:x=y=0.}$$
Supposons le contraire: je note $p:=23.$
$\exists x,y,u,v \in \Z^*$ tels que $\left\{ \begin{array}{l}x^2+py^2 = u ^2\quad (1) \\ x^2+ 2p y^2 =v^2 \end{array}\right.\qquad \left\{ \begin{array}{l} v^2-u^2 =py^2 \\ x^2+v^2 =2u^2\quad (2) \end{array}\right.\qquad x\wedge y =1,\:$ avec $|u|$ minimal pour ces conditions.
Un simple examen de la réduction $\text{modulo}\: 4$ de ces relations montre que $x,u,v$ sont impairs et que $y$ est pair.
L'étude de l'équation diophantienne $X^2+Y^2 = 2Z^2$ appliquée à $(2)$ nous indique l'existence de $a,b \in \N$ tels que $$ |u| = a^2 +b^2, \quad |x| =|a^2-b^2 -2ab|, \quad |v|= |b^2-a^2 -2ab|,\quad a\wedge b =1, \quad ab \equiv 0 \mod 2.$$ Avec $(1)$, on obtient alors: $ \:py^2 = 4 ab (a-b)(a+b), \quad p\left( \dfrac y2 \right) ^2=ab(a-b)(a+b).$
Les quatre facteurs de ce produit étant deux à deux premiers entre eux, il existe des entiers $r,s,w,z$ non nuls, deux à deux premiers entre eux, tels que $ r>0, \:\: rs\equiv 0 \mod 2\:$ et vérifiant l'une des quatre conditions suivantes qui vont toutes conduire à une contradiction:

$ \bullet\:\: \underline{a=pr^2, \quad b = s^2, \quad a-b = w^2, \quad a+b = z^2 .}$
Il vient: $pr^2 -s^2 = w^2$ qui impose $r$ impair, puis la relation $pr^2+ s^2 =z^2 $ dont la réduction $\mod 4$ produit la contradiction $"-1+0\equiv 1"$ .

$\bullet \:\:\underline {a=r^2,\quad b =ps^2,\quad a-b = w^2,\quad a+b= z^2.}$
Alors,$\:\:w^2 +ps^2 =r^2, \quad w^2 +2ps^2 =z^2$ est contredit par le caractère minimal de $|u|. $

$\bullet \:\: \underline {a=r^2 ,\quad b= s^2, \quad a-b =w^2, \quad a+b = pz^2.}$
Alors,$\:\:w^2 +2s^2 =pz^2 $ entraîne $w^2+2s^2 \equiv 0 \mod p,\:\:$ ce qui est incompatible avec le fait que $-2$ n'est pas un carré $\mod p.$

$\bullet \:\: \underline {a=r^2 ,\quad b= s^2, \quad a-b =pw^2, \quad a+b = z^2.}$
Alors: $\left\{\begin{array}{l} 2r^2 = z^2+pw^2 \quad (3)\\ 2s^2 =z^2 -pw^2 \end{array}\right.\: $ qui entraîne $r\equiv 0 \mod 3.\quad (4)\quad $ Notons: $X = \dfrac zr, \:\:Y:= \dfrac wr.\qquad (3) $ s'écrit $X^2 + pY^2 =2.\quad (5)$
$\exists t \in\Q, \exists c,d \in \Z$ tels que $c\wedge d =1, \quad \left\{\begin{array}{l} X=\dfrac 34 +tc\\Y= \dfrac 14 +td. \end{array}\right.\:\:$ d'où l'on déduit avec $(5):\quad X = \dfrac z r =\dfrac {-3c^2 +3d^2 -2cd}{4(c^2+d^2)}.$
De cette dernière relation, il découle avec $(4)$ que $3\:\: \text{divise}\:\: 4(c^2+d^2), \:$ ce qui constitue une nouvelle contradiction $\square$