Une équation diophantienne
dans Arithmétique
Bonjour,
je cherche à résoudre une équation du type $x^{2}+py^{2}=c$. Est-ce que quelqu'un aurait une piste ou une référence à m'indiquer. J'ai essayé de faire comme une équation de Pell-Fermat mais sans succès. Et je sais qu'il faut que $c$ soit un carré modulo $p$.
Merci.
je cherche à résoudre une équation du type $x^{2}+py^{2}=c$. Est-ce que quelqu'un aurait une piste ou une référence à m'indiquer. J'ai essayé de faire comme une équation de Pell-Fermat mais sans succès. Et je sais qu'il faut que $c$ soit un carré modulo $p$.
Merci.
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Réponses
Quant à la théorie générale c'est une autre histoire.
en effet $p>0$ premier de préférence. Le problème d'origine c'est trouver les solutions de $x^{2}+23y^{2}=k$ où $k$ est un carré. Effectivement ça se programme. Mais je cherche surtout à savoir si il y a une méthode générale dans le cas où $p>0$. Je vais lire la référence de Poirot.
Merci
Je reviens sur le sujet. Du coup on trouve facilement des solutions via un programme informatique. Par contre la question d’origine m’avait été mal posée. Il s’agit, en fait, de trouver un couple $(x,y)$ d’entiers tels que $x^{2}+23y^{2}$ et $x^{2}+46y^{2}$ soient des carrés.
Bonne journée
Voici une réponse à la question soulevée par ton dernier message:
$$\boxed{\forall x,y \in \Z,\qquad x^2+23y^2 \:\:\text{et}\:\: x^2+46y^2 \:\text{sont des carrés d'entiers}\:\:\iff \:\:x=y=0.}$$
Supposons le contraire: je note $p:=23.$
$\exists x,y,u,v \in \Z^*$ tels que $\left\{ \begin{array}{l}x^2+py^2 = u ^2\quad (1) \\ x^2+ 2p y^2 =v^2 \end{array}\right.\qquad \left\{ \begin{array}{l} v^2-u^2 =py^2 \\ x^2+v^2 =2u^2\quad (2) \end{array}\right.\qquad x\wedge y =1,\:$ avec $|u|$ minimal pour ces conditions.
Un simple examen de la réduction $\text{modulo}\: 4$ de ces relations montre que $x,u,v$ sont impairs et que $y$ est pair.
L'étude de l'équation diophantienne $X^2+Y^2 = 2Z^2$ appliquée à $(2)$ nous indique l'existence de $a,b \in \N$ tels que $$ |u| = a^2 +b^2, \quad |x| =|a^2-b^2 -2ab|, \quad |v|= |b^2-a^2 -2ab|,\quad a\wedge b =1, \quad ab \equiv 0 \mod 2.$$ Avec $(1)$, on obtient alors: $ \:py^2 = 4 ab (a-b)(a+b), \quad p\left( \dfrac y2 \right) ^2=ab(a-b)(a+b).$
Les quatre facteurs de ce produit étant deux à deux premiers entre eux, il existe des entiers $r,s,w,z$ non nuls, deux à deux premiers entre eux, tels que $ r>0, \:\: rs\equiv 0 \mod 2\:$ et vérifiant l'une des quatre conditions suivantes qui vont toutes conduire à une contradiction:
$ \bullet\:\: \underline{a=pr^2, \quad b = s^2, \quad a-b = w^2, \quad a+b = z^2 .}$
Il vient: $pr^2 -s^2 = w^2$ qui impose $r$ impair, puis la relation $pr^2+ s^2 =z^2 $ dont la réduction $\mod 4$ produit la contradiction $"-1+0\equiv 1"$ .
$\bullet \:\:\underline {a=r^2,\quad b =ps^2,\quad a-b = w^2,\quad a+b= z^2.}$
Alors,$\:\:w^2 +ps^2 =r^2, \quad w^2 +2ps^2 =z^2$ est contredit par le caractère minimal de $|u|. $
$\bullet \:\: \underline {a=r^2 ,\quad b= s^2, \quad a-b =w^2, \quad a+b = pz^2.}$
Alors,$\:\:w^2 +2s^2 =pz^2 $ entraîne $w^2+2s^2 \equiv 0 \mod p,\:\:$ ce qui est incompatible avec le fait que $-2$ n'est pas un carré $\mod p.$
$\bullet \:\: \underline {a=r^2 ,\quad b= s^2, \quad a-b =pw^2, \quad a+b = z^2.}$
Alors: $\left\{\begin{array}{l} 2r^2 = z^2+pw^2 \quad (3)\\ 2s^2 =z^2 -pw^2 \end{array}\right.\: $ qui entraîne $r\equiv 0 \mod 3.\quad (4)\quad $ Notons: $X = \dfrac zr, \:\:Y:= \dfrac wr.\qquad (3) $ s'écrit $X^2 + pY^2 =2.\quad (5)$
$\exists t \in\Q, \exists c,d \in \Z$ tels que $c\wedge d =1, \quad \left\{\begin{array}{l} X=\dfrac 34 +tc\\Y= \dfrac 14 +td. \end{array}\right.\:\:$ d'où l'on déduit avec $(5):\quad X = \dfrac z r =\dfrac {-3c^2 +3d^2 -2cd}{4(c^2+d^2)}.$
De cette dernière relation, il découle avec $(4)$ que $3\:\: \text{divise}\:\: 4(c^2+d^2), \:$ ce qui constitue une nouvelle contradiction $\square$