Somme avec des carrés de nombres impairs

Tout d'abord le titre n'a aucun rapport avec l'égalité proposée puisque la somme des carrés des $n$ premiers nombres impairs vaut $\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)^2={2n+1\choose3}=\dfrac{4n^3-n}3$.

Edit : dernier terme corrigé grâce à la remarque de Jean Lismonde.


L'égalité proposée vient d'un exemple connu de somme télescopique avec la fonction $\arctan$.

De $\arctan\dfrac2{x^2}=\arctan(x+1)-\arctan(x-1)$ valable pour tout $x\neq0$ on déduit :
avec $x=2k-1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n\arctan\dfrac2{(2k-1)^2}=\arctan(2n)$
avec $x=2k$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n\arctan\dfrac1{2k^2}=\arctan(2n+1)-\dfrac{\pi}4$

Il y a d'autres exemples comme
$\arctan\dfrac1{k^2+k+1}=\arctan(k+1)-\arctan k$
$\arctan\dfrac{2k}{k^4+k^2+2}=\arctan(k^2+k+1)-\arctan (k^2-k+1)$
et plus généralement $\arctan\dfrac{P(k+1)-P(k)}{1+P(k)P(k+1)}=\arctan P(k+1)-\arctan P(k)$