Théorème chinois étendu aux inversibles

Bonjour,

J'ai démontré que le théorème chinois peut s'étendre aux sous-groupes des inversibles, i.e. (pour faire simple, prenons deux entiers $n$ et $m$ seulement, premiers entre eux), comme on a :

$\mathbb{Z} / (mn) \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$, alors on a :

$(\mathbb{Z} / (mn) \mathbb{Z})^{\times} \cong (\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{\times}$ (où $\times$ désigne le sous-groupe des inversibles du groupe correspondant).

En effet, $a$ dans $\mathbb{Z} / (mn) \mathbb{Z}$ est inversible ssi $a$ dans $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ et $a$ dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ est inversible. Donc on a la bijection, et comme on a le morphisme d'anneaux, donc le morphisme pour la loi multiplicative, on a l'isomorphisme des groupes multiplicatifs.

Ne fais-je pas erreur (j'ai un doute pour : $a$ inversible dans $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ $\Rightarrow a$ inversible dans $\mathbb{Z} / (mn) \mathbb{Z}$) ? Merci d'avance.