Discussion autour de $\sqrt{n}$
Bonsoir tout le monde.
J'ai un énoncé intéressant : quels sont les entiers $n\in \N^*$ tels que $E(\sqrt{n})$ divise $n$ ? (J'ai noté $E(x)$ la partie entière de $x$).
A vrai dire je n'ai pas grandement avancé vers la solution. J'ai cependant joué avec Excel pour regarder ce qui se passe, et pourquoi pas conjecturer deux trois petites choses. Ce que j'ai pu observer d'intéressant, c'est la suite $(E(\sqrt{n}))$. Je conjecture qu'elle est constituée de trois $1$, puis cinq $2$, puis sept $3$, et ainsi de suite : deux $k$ plus une fois $k$.
Au cas où cela nous aide par la suite, je note $e_n = n(n+2)$, qui correspond à la somme des $n$ premiers impairs.
Bonne recherche à vous, contributeurs potentiels.
PS : question en passant : le jour où je perdrai ma calculatrice, comment calculerai-je $\sqrt{171}$?
J'ai un énoncé intéressant : quels sont les entiers $n\in \N^*$ tels que $E(\sqrt{n})$ divise $n$ ? (J'ai noté $E(x)$ la partie entière de $x$).
A vrai dire je n'ai pas grandement avancé vers la solution. J'ai cependant joué avec Excel pour regarder ce qui se passe, et pourquoi pas conjecturer deux trois petites choses. Ce que j'ai pu observer d'intéressant, c'est la suite $(E(\sqrt{n}))$. Je conjecture qu'elle est constituée de trois $1$, puis cinq $2$, puis sept $3$, et ainsi de suite : deux $k$ plus une fois $k$.
Au cas où cela nous aide par la suite, je note $e_n = n(n+2)$, qui correspond à la somme des $n$ premiers impairs.
Bonne recherche à vous, contributeurs potentiels.
PS : question en passant : le jour où je perdrai ma calculatrice, comment calculerai-je $\sqrt{171}$?
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Réponses
Erratum : je voulais dire $k^2, k(k+1)$ et $k(k+2)$.
$n=k^2$ donne $E(\sqrt{n})=k$ divise $n=k^2.$
Tu cherches des solutions, je t’en donne.
Puis il faut explorer d’autres solutions... le message précédent le mien donne la piste vers toutes les solutions.
Soit $n\in \N^*$. L'entier $E(\sqrt{n})$ divise $n$ si et et seulement si $n$ est de la forme $k,k(k+1)$ ou $k(k+2)$. Dans ce cas, $E(\sqrt{n})=k$
Idées de la démonstration : si la condition est vérifiée, on vérifie au cas par cas. Pour la forme $k(k+2)$, il faut s'assurer que $E(\sqrt{n})\neq k+1$. On y arrive bien par l'absurde.
Si $E(\sqrt{n}) = e$ divise $n$, on introduit un $m$ tel que $me = n$. On montre que $m\geq e$, puis par l'absurde que $m-e<3$, d'où le résultat.
Pour $\sqrt{171}$
(1) choisir une approximation, ici $x_0=13$
(2) la moyenne de $13$ et $171/13$ est une meilleure approximation : $13.077$
(3) recommencer avec la nouvelle approximation.
http://oeis.org/A006446
pour le calcul précis à la main de $\sqrt{171}$
tu peux envisager un développement limité de $13\sqrt{1+\frac{2}{169}}$ soit
$13[1 + \frac{1}{169} - \frac{1}{2.169^2} + \frac{1}{2.169^3}+...]$ soit encore :
$$\sqrt{171} = 13 + \frac{1}{13} - \frac{1}{2.169.13} + \frac{1}{2.169^2.13} +.......$$
la convergence est rapide : tu as un résultat ici au milliardième soit 13,0766968....
cordialement
Mon professeur de maths de terminale nous avait expliqué à brule-pourpoint comment calculer la racine carré d'un nombre. Sans doute les plus anciens doivent connaitre cette méthode.
Ca se présente un peu comme la division que l'on apprend en primaire. On regroupe les chiffres 2 par 2. A chaque étape, on a un reste r et un résultat c. On cherche alors le chiffre n qui permet d'avoir (20 c+ n) n < r en étant le plus proche. Le résultat devient 10c+n.
C'est difficile d'être clair sans tableau.
Exemple: racine carré de 599.
la racine carré de 5 et 2, et il reste 199.
On cherche donc le nombre n tel que 4n * n soit le plus proche de 199 en restant inférieur. On trouve n=4.
Le résultat provisoire est 24.
4 *44 = 176. Le reste est 23.
On cherche alors m tel que 48m * m soit le plus proche de 2300. On a m=4
Une valeur approchée de la racine carré de 499 est donc 24,4.
RG2
Jusque vers 1970, cette méthode était au programme de troisième. Ensuite, les calculatrices ont rendu cette méthode obsolète.
Cordialement.
Il y a une sauvegarde hélas incomplète sur archive.org : https://web.archive.org/web/20071012095733/http://perso.orange.fr:80/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/r_carree_anc.htm (peut-être y a-t-il de meilleures dates à choisir). Je joins la première (grosse) image manquante. La légende indique qu'il s'agit d'un manuel de 1910 pour le cours supérieur de certificat d'études (élèves de 11 à 13 ans).
Le passage "En 48, combien de fois 6 ? Il y est 7 fois." Ne peut se comprendre isolément.
Je trouve qu'il manque au moins une petite explication à ce passage, indépendamment de ce qui est dit dans la suite.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
C'est vrai, j'avais oublié ça. Il y a un raccourci assez osé dans cet extrait. Le site poursuit avec un algorithme tiré d'un manuel plus récent (« Terminale C et T de V. Lespinard et R.Pernet, 1968 ») qui, je crois, est plus précis. Tu peux le voir sur le lien archive.org que j'ai donné https://web.archive.org/web/20071012095733/http://perso.orange.fr:80/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/r_carree_anc.htm .
Cordialement.
L'algorithme est effectivement plus détaillé.
Il y a même (et cela est un peu plus rare) le détail pour l'extraction de racines cubiques.
Ce sont de bons thèmes pour du calcul écrit.
Après, pour les racines quartiques, quintiques, etc... cela devient ardu, même par écrit.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Pour l'algorithme par suite récurrente du premier ordre donné par soland, on peut fournir une justification géométrique intuitive.
On cherche la racine carrée d'un réel $a > 0$, donc la longueur « du » côté d'un carré d'aire $a$. On part d'un réel $x_0 > 0$ arbitraire. Un rectangle $R_0$ de côtés $x_0$ et $\frac{a}{x_0}$ a pour aire $a$, mais on veut un carré. Pour s'en rapprocher, on considère un nouveau rectangle $R_1$ dont une des dimensions est la moyenne arithmétique de celles de $R_0$, i.e. : $x_1 = \frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0})$. Afin que ce rectangle ait toujours $a$ pour aire, l'autre dimension doit être $\frac{a}{x_1}$. Et on recommence : pour se rapprocher encore plus d'un carré, on prend la moyenne arithmétique de ces deux longueurs ($x_1$ et $\frac{a}{x_1}$), etc.
Et effectivement, dans 48, combien de fois 6 ... on savait assez vite qu'avec les retenues, 8 allait être trop grand.