Carré modulo puissance de $2$
dans Arithmétique
Bonjour,
Comment montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}^{*}$, il existe $x\in \mathbb{Z}$ tel que $-7 \equiv x^2\, [2^n]$ ? J'ai lu sur Wikipedia que les résidus quadratiques modulo $2^r$ pour $r\geqslant 3$ sont $0$ et les entiers de la forme $4^k(8m+1)$ mais il n'y a pas de démo.
J'ai trouvé la réponse à ma question.
Comment montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}^{*}$, il existe $x\in \mathbb{Z}$ tel que $-7 \equiv x^2\, [2^n]$ ? J'ai lu sur Wikipedia que les résidus quadratiques modulo $2^r$ pour $r\geqslant 3$ sont $0$ et les entiers de la forme $4^k(8m+1)$ mais il n'y a pas de démo.
J'ai trouvé la réponse à ma question.
Réponses
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Tu peux construire la suite des solutions par récurrence : soit $x_n$ tel que $x_n =-7\:[2^n]$. Si $x_n = -7\:[2^{n+1}]$, on prend $x_{n+1} = x_n$, sinon, $x_{n+1} = x_n +2^{n-1}$ convient.
Edit : ça ne doit marcher qu'à partir de $n=3$, mais il suffit d'initialiser avec $x_3 = 1$. -
Guego
Merci beaucoup c'est exactement ce qu'il me fallait.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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Bonjour!
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