Intérêt du symbole de Legendre
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai du mal à m'expliquer l'intérêt du symbole de Legendre (et de celui de Jacobi) en arithmétique. Je m'explique en allant droit au but.
Ces symboles ont-ils un intérêt en dehors de la recherche de carrés, ou de ce qui est lié aux carrés dans un corps fini, autrement dit peut-on démontrer des théorèmes généraux non liés aux carrés en utilisant ces symboles, et ces théorèmes pourraient-ils être démontrés sans les utiliser, avez-vous des exemples ?
J'ai du mal à m'expliquer l'intérêt du symbole de Legendre (et de celui de Jacobi) en arithmétique. Je m'explique en allant droit au but.
Ces symboles ont-ils un intérêt en dehors de la recherche de carrés, ou de ce qui est lié aux carrés dans un corps fini, autrement dit peut-on démontrer des théorèmes généraux non liés aux carrés en utilisant ces symboles, et ces théorèmes pourraient-ils être démontrés sans les utiliser, avez-vous des exemples ?
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Réponses
Un exemple très simple d'énoncé qui ne parle pas de carrés (même si en fait, si) : soit $d$ un entier $\neq 0, 1$ sans facteur carré et $p$ un nombre premier impair. Notons $K = \mathbb Q(\sqrt d)$ le corps quadratique associé, et $\mathcal O_K$ son anneau d'entiers. Alors l'idéal $p \mathcal O_K$ se décompose de la manière suivante : $$\left\{\begin{matrix} \mathfrak p_1 \mathfrak p_2 \text{ si } \left(\frac{d}{p}\right) = 1,\\ \mathfrak p \text{ si } \left(\frac{d}{p}\right) = -1,\\ \mathfrak p^2 \text{ si } \left(\frac{d}{p}\right) = 0,\end{matrix}\right.$$ où les $p$ gothiques désignent des idéaux premiers de $\mathcal O_K$.
Cet énoncé se généralise à toutes les extensions abéliennes de $\mathbb Q$ (dont le groupe de Galois est abélien), via la loi de réciprocité d'Artin. Au lieu de symbole de Legendre, on aura affaire à des généralisations, appelées symbole d'Artin.
Reste à savoir si on le démontre en utilisant la relation à gauche ou bien à droite (auquel cas, c'est un artifice) de l'équivalence ?
Oui bon, le symbole de Legendre peut permettre en faisant un simple calcul de démontrer une propriété qui serait un peu plus compliquée à démontrer sans cela ?
Le lien entre les deux est donné par la démonstration : (pour $\Z[\i]$,) il est naturel pour factoriser $p$ d'introduire $\Z[\i]/(p)$ – est-ce un corps, un produit d'anneaux, y a-t-il des nilpotents... – et de l'identifier à $\Z[X]/(X^2+1,p)$ puis à $\Z/p\Z[X]/(X^2+1)$. Ici, le symbole de Legendre – la question de savoir si $-1$ est un carré modulo $p$ – intervient naturellement.
La version plus générale de Poirot s'interprète de la même façon, modulo le fait que l'anneau n'est pas factoriel en général, d'où la factorisation des idéaux à la place.
Une remarque en passant mais elle demande confirmation. Ici, bien sûr, c'est une seule valeur du symbole qui joue. En général, on fixe $d$ et on veut faire varier $p$. Pour globaliser, on veut utiliser la propriété de multiplicativité du symbole de Legendre, mais elle est relative au « numérateur » : peut-être est-ce une motivation pour la réciprocité quadratique.
Bien à vous.
Grâce à lui, on démontre les propositions suivantes où $n$ est un entier.
$\bullet$ $3$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est de la forme $12n \pm 1$.
\begin{equation}
p=13, \: 4^2=16 \equiv 3 \pmod {13} \\
p=23, \: 7^2=49 \equiv 3 \pmod {23}
\end{equation}
$\bullet$ $5$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est de la forme $10n \pm 1$.
\begin{equation}
p=11,\: 4^2=16 \equiv 5 \pmod {11} \\
p=19, \: 9^2=81 \equiv 5 \pmod {19}
\end{equation}
$\bullet$ $-5$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est de la forme $20n+3$ ou $20n+7$.
$\bullet$ $7$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p=\pm 1$ ou $p=\pm 3$ ou $p=\pm 9$ le tout modulo $28$.
Exemple:
\begin{equation}
p=29, \: 6^2=36 \equiv 7 \pmod {29}
\end{equation}
$\bullet$ Si $p$ est de la forme $4n+1$, alors les résidus et non-résidus quadratiques sont répartis de façon symétrique dans l’ensemble $\{1,p-1\}$.
Exemple: $p=13=4\times 3+1, \: (1,12), (3,10), (4,9)$ sont résidus quadratiques.
...
mini-calli, j'ai trouvé : résoudre l'équation $x^2=a$ dans $\mathbb{F}_p$, où $p$ est un nombre premier.
Il faut distinguer les cas, selon $a$, puis selon $p$.
PS : je comprends maintenant, Poirot, ton tout premier message (sauf sa généralisation !). Super merci.