Olympiades 2019

Stator
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dans Arithmétique
Bonjour

Un élève qui s'entraîne aux olympiades est bloqué à la question 3 de l'exercice n°1 en pj. Je vois qu'on veut faire toucher du doigt le fait qu'il existe une bijection entre $E_p$ et $E_{p+3}$ lorsque p est impair mais le corrigé n'est pas clair. Notamment $x+y+z$ est impair par hypothèse donc je ne vois pas comment ils déduisent $x-1+y-1=z-1$ impossible puisque $x-1+y-1+z-1=2z-2$ et donc $x+y+z=2z-5$ possible vu qu'on a deux nombres impairs de chaque côté. Je ne dois pas avoir les yeux en face des trous... mais le corrigé ne me semble pas net ni l'énoncé du reste. Quelqu'un a déjà vu cet exo ?

Réponses

  • JLT
    JLT
    Je n'ai pas regardé le corrigé mais si on est parti de $(x,y,z)\in E_{p+3}$ alors $x+y+z=p+3$ est pair.
  • Stator
    Stator
    D'accord JLT mais les notations différentes entre l'énoncé et le corrigé embrouillent un peu.
  • JLT
    JLT
    Partons de $(x,y,z)\in E_{p+3}$ avec $p$ impair. Supposons que $(x-1,y-1,y-1)\notin E_p$.

    1) Premier cas : $(x-1)+(y-1)=z-1$. Alors $x+y+z=2z+1$ est impair, ce qui contredit que $x+y+z=p+3$.

    2) Deuxième cas : $x-1=0$. Alors $x=1$ et $y+z=p+2$. Or $z<x+y$ donc $y=z$, ce qui donne $2z=p+2$. C'est impossible car $p$ est impair.
  • Stator
    Stator
    Merci pour cette clarté.
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