Validité d'une démonstration
Je me forme à Python et j'ai acheté un bouquin de mathématiques pour l'informatique. Il y a cet exercice : Prouver que si a est divisible par b et b par c, alors a est divisible par c.
Que pensez-vous de ma démonstration par la contraposée ? Est-elle correcte ? admissible ? Je précise que je n'ai pas du tout un profil scientifique.
Démonstration par la contraposée :
si a n'est pas divisible par c (avec a impair et et c pair, puisqu'un nombre pair est toujours divisible, que ce soit par un pair ou un impair et qu'un nombre pair ne peut jamais diviser un nombre impair).
alors il est faux que a soit divisible par b et b par c (on a déjà a impair ; avec b pair, pas de division possible ; avec b impair, la division est possible, mais alors c'est b qui n'est plus divisible par c). L'un des deux termes de la conjonction est faux, donc la conjonction est fausse dans son ensemble.
Ou doit-on plutôt écrire ?
A/B = X et B/C = Y avec X et Y entiers.
D'où B = A/X et B = YC.
D'où A/X = YC.
D'où A/C = XY. Et XY est un entier.
Donc A est divisible par C.
Bref, y a-t-il un expert assez charitable pour m'éclairer ? Merci par avance !
Que pensez-vous de ma démonstration par la contraposée ? Est-elle correcte ? admissible ? Je précise que je n'ai pas du tout un profil scientifique.
Démonstration par la contraposée :
si a n'est pas divisible par c (avec a impair et et c pair, puisqu'un nombre pair est toujours divisible, que ce soit par un pair ou un impair et qu'un nombre pair ne peut jamais diviser un nombre impair).
alors il est faux que a soit divisible par b et b par c (on a déjà a impair ; avec b pair, pas de division possible ; avec b impair, la division est possible, mais alors c'est b qui n'est plus divisible par c). L'un des deux termes de la conjonction est faux, donc la conjonction est fausse dans son ensemble.
Ou doit-on plutôt écrire ?
A/B = X et B/C = Y avec X et Y entiers.
D'où B = A/X et B = YC.
D'où A/X = YC.
D'où A/C = XY. Et XY est un entier.
Donc A est divisible par C.
Bref, y a-t-il un expert assez charitable pour m'éclairer ? Merci par avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ta deuxième méthode est correcte. Elle est un peu lourde au niveau des manipulations (on préférera ne pas écrire de division pour faire une démonstration "propre"). Tu aurais pu écrire : $a$ est divisible par $b$ donc il existe un entier $x$ tel que $a=bx$. $b$ est divisible par $c$ donc il existe un entier $y$ tel que $b=cy$. Alors $a=bx=xyc$, c'est-à-dire que $a$ est divisible par $c$.
Cordialement.
Pour la question posée, il suffit d'écrire deux fois cette caractérisation.