Corps résiduel d'une place de corps de nombre
Bonjour amis théoriciens des nombres, :-)
Impossible de trouver la définition de la phrase suivante sur le net. La voici.
- Corps résiduel d'une place finie d'un corps de nombres $ K $.
Un corps de nombres $ K $ est une extension de corps finie de $ \mathbb{Q} $. D’accord.
Une place finie de $ K $ est un idéal premier $ \mathfrak{p} $ de $ O_K $ l'ensemble des éléments entiers de $ K $. D’accord aussi.
Mais, corps résiduel d'une place finie $ \mathfrak{p} $ d'un corps de nombres $ K $, qu'est-ce que c'est ?
Je sais ce qu'est un corps résiduel en algèbre. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_résiduel , mais, ici c'est différent, $ \mathfrak{p} $ est un idéal premier, et non maximal, donc, $ \mathfrak{p} $ n'a pas de corps résiduel, car il n'est pas maximal. Bref, qu'est-ce qu'un corps résiduel de la place finie $ \mathfrak{p} $ ?
Merci d'avance.
Impossible de trouver la définition de la phrase suivante sur le net. La voici.
- Corps résiduel d'une place finie d'un corps de nombres $ K $.
Un corps de nombres $ K $ est une extension de corps finie de $ \mathbb{Q} $. D’accord.
Une place finie de $ K $ est un idéal premier $ \mathfrak{p} $ de $ O_K $ l'ensemble des éléments entiers de $ K $. D’accord aussi.
Mais, corps résiduel d'une place finie $ \mathfrak{p} $ d'un corps de nombres $ K $, qu'est-ce que c'est ?
Je sais ce qu'est un corps résiduel en algèbre. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_résiduel , mais, ici c'est différent, $ \mathfrak{p} $ est un idéal premier, et non maximal, donc, $ \mathfrak{p} $ n'a pas de corps résiduel, car il n'est pas maximal. Bref, qu'est-ce qu'un corps résiduel de la place finie $ \mathfrak{p} $ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Soit $ k $ un corps de nombres.
Soit $ v $ une place finie de $ k $.
Que signifie que $ v $ est non ramifié sur $ \mathbb{Q} $ ?
Merci d'avance.
Comment construit-on le complété $ k_v $ d'un corps fini ou d'un corps de nombres $ k $, en une place non ramifiée $ v $ de $ k $ ?
Merci d'avance.
Dans le cas d'un corps de nombres disons, la place en question correspond à une valeur absolue sur $k$. Cette valeur absolue induit une distance sur $k$, et on construit le complété par la méthode habituelle dans les espaces métriques.
Oui $ k $ est seulement un corps de nombres. J'ai mal recopié le passage.
Pourquoi un corps fini n'a pas un complété ?
Merci.
Soit $ k $ un corps de nombres.
Soit $ V $ un $ k $ - espace vectoriel de dimension finie.
Soit $ v $ une place non ramifiée de $ k $.
Comment munit-on le complété $ v $ - adique $ V \otimes_k k_v $ de $ V $ d'une action semi-linéaire, bijective du Frobenius $ F_v $ en $ v $ ?
Merci.
Le Frobenius $ F_{ \displaystyle v } $ est défini par, $ F_{ \displaystyle v } (x) = p^{ \displaystyle r } x $ pour tout $ x \in V $. N'est ce pas ?
Mais, comment a-t-on choisi $ p^{ \displaystyle r } $ de cette forme ? Que désigne-t-il ?
Merci.
Ça me fait penser aux bébés qui pleurent après avoir fait la grosse commission car ils veulent qu'on leur change la couche... B-)-
J'essaye de réunir le maximum d'informations autour de cette conjecture, et recoller ensuite les morceaux,pour qu'enfin aboutir à l'énoncé exact et final de cette conjecture.
Tu as préparé tes affaires pour déménager ?
Quelle est la différence entre la notion d'extension non ramifiée d'un corps de nombre, et la notion d'une place non ramifiée d'un corps de nombres ?
Merci d'avance.
Merci d'avance.