Corps résiduel d'une place de corps de nombre
Bonjour amis théoriciens des nombres, :-)
Impossible de trouver la définition de la phrase suivante sur le net. La voici.
- Corps résiduel d'une place finie d'un corps de nombres $ K $.
Un corps de nombres $ K $ est une extension de corps finie de $ \mathbb{Q} $. D’accord.
Une place finie de $ K $ est un idéal premier $ \mathfrak{p} $ de $ O_K $ l'ensemble des éléments entiers de $ K $. D’accord aussi.
Mais, corps résiduel d'une place finie $ \mathfrak{p} $ d'un corps de nombres $ K $, qu'est-ce que c'est ?
Je sais ce qu'est un corps résiduel en algèbre. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_résiduel , mais, ici c'est différent, $ \mathfrak{p} $ est un idéal premier, et non maximal, donc, $ \mathfrak{p} $ n'a pas de corps résiduel, car il n'est pas maximal. Bref, qu'est-ce qu'un corps résiduel de la place finie $ \mathfrak{p} $ ?
Merci d'avance.
Impossible de trouver la définition de la phrase suivante sur le net. La voici.
- Corps résiduel d'une place finie d'un corps de nombres $ K $.
Un corps de nombres $ K $ est une extension de corps finie de $ \mathbb{Q} $. D’accord.
Une place finie de $ K $ est un idéal premier $ \mathfrak{p} $ de $ O_K $ l'ensemble des éléments entiers de $ K $. D’accord aussi.
Mais, corps résiduel d'une place finie $ \mathfrak{p} $ d'un corps de nombres $ K $, qu'est-ce que c'est ?
Je sais ce qu'est un corps résiduel en algèbre. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_résiduel , mais, ici c'est différent, $ \mathfrak{p} $ est un idéal premier, et non maximal, donc, $ \mathfrak{p} $ n'a pas de corps résiduel, car il n'est pas maximal. Bref, qu'est-ce qu'un corps résiduel de la place finie $ \mathfrak{p} $ ?
Merci d'avance.
Réponses
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Un idéal premier non nul de l'anneau des entiers d'un corps de nombres est toujours maximal. Mot-clé : anneau de Dedekind.
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Merci beaucoup Poirot. ;-)
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Bonjour,
Soit $ k $ un corps de nombres.
Soit $ v $ une place finie de $ k $.
Que signifie que $ v $ est non ramifié sur $ \mathbb{Q} $ ?
Merci d'avance. -
Ça veut dire que l'idéal premier de $k$ correspondant à la place $v$ est non ramifié sur $\mathbb Q$.
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Merci Poirot.
Comment construit-on le complété $ k_v $ d'un corps fini ou d'un corps de nombres $ k $, en une place non ramifiée $ v $ de $ k $ ?
Merci d'avance. -
On ne parle pas de place ou de complété d'un corps fini, je ne sais pas où tu es allé chercher ça.
Dans le cas d'un corps de nombres disons, la place en question correspond à une valeur absolue sur $k$. Cette valeur absolue induit une distance sur $k$, et on construit le complété par la méthode habituelle dans les espaces métriques. -
Merci Poirot.
Oui $ k $ est seulement un corps de nombres. J'ai mal recopié le passage.
Pourquoi un corps fini n'a pas un complété ?
Merci. -
Les valeurs absolues sur un corps fini sont toutes triviales.
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Merci beaucoup Poirot. (tu)
Soit $ k $ un corps de nombres.
Soit $ V $ un $ k $ - espace vectoriel de dimension finie.
Soit $ v $ une place non ramifiée de $ k $.
Comment munit-on le complété $ v $ - adique $ V \otimes_k k_v $ de $ V $ d'une action semi-linéaire, bijective du Frobenius $ F_v $ en $ v $ ?
Merci. -
Le Frobenius $F_v$ s'étend en un automorphisme de $k_v$ car il préserve la valuation $v$-adique, donc l'action que tu cherches est évidente à définir.
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Poirot,
Le Frobenius $ F_{ \displaystyle v } $ est défini par, $ F_{ \displaystyle v } (x) = p^{ \displaystyle r } x $ pour tout $ x \in V $. N'est ce pas ?
Mais, comment a-t-on choisi $ p^{ \displaystyle r } $ de cette forme ? Que désigne-t-il ?
Merci. -
C'est aberrant. Comment peux-tu oser écrire des messages comme ça, alors que tu ne sais même pas ce qu'est un Frobenius ? Tu as de sérieux problèmes.
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Les deux fils ont un lien en commun, c'est pourquoi je suis venu sur ce fil pour affiner ma compréhension. Je ne connais pas les détails du Frobenius.
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Le terme affiner est un peu gros non ? Peut-on affiner quelque chose d'inexistant ? Tu ne connais pas la définition du moindre objet dont tu parles !
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Le message en question commence par : "Je vous propose un énoncé de la conjecture d'Ogus, que j'aimerais que vous me corrigez.".
Ça me fait penser aux bébés qui pleurent après avoir fait la grosse commission car ils veulent qu'on leur change la couche... B-)- -
Ne te focalises pas sur ce point de manière exagérée Poirot. Je sais ce que je fais. Si tu me donnes la réponse, ça m'aiderait à comprendre la suite.
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Non, tu ne sais pas ce que tu fais. Tu alignes des symboles dont tu ignores le sens. Tu trouves ça joli, et tu penses impressionner les gens en écrivant des choses comme ça, mais absolument tout le monde peut constater que c'est du vent.
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Ce n'est pour impressionner personne Poirot. La conjecture d'Ogus m’intéresse énormément, vu qu'elle constitue une suite du programme inachevée de la géométrie algébrique jusqu'à présent : Conjecture de Hodge, de Tate, et des périodes de Grothendieck , pour la cohomologie Cristalline. J'ai résolu les trois. Il me reste la conjecture d'Ogus que j'essaye de résoudre aussi. Voila pourquoi je vous inonde de questions de ce genre. L'énoncé de cette conjecture se trouve dans le deuxième lien du fil, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2213704 , page, $ 359 $, et se trouve nul part ailleurs, dans aucun autre livre.
J'essaye de réunir le maximum d'informations autour de cette conjecture, et recoller ensuite les morceaux,pour qu'enfin aboutir à l'énoncé exact et final de cette conjecture. -
Tu n'as rien résolu du tout étant donné que tu ne comprends même pas les énoncés.
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Bonsoir,
Quelle est la différence entre la notion d'extension non ramifiée d'un corps de nombre, et la notion d'une place non ramifiée d'un corps de nombres ?
Merci d'avance. -
Ben regarde les définitions, ce n'est pas bien compliqué. C'est comme si tu demandais la différence entre la notion d'isomorphisme de groupes et la notion de noyau d'un morphisme de groupes.
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Ah oui. Une extension non ramifiée est l'extension dans la quelle toute place est inclue est non ramifiée. Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance. -
"Toute place est inclue est non ramifiée", qu'est-ce que ça veut dire ???
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$ L $ est une extension non ramifiée d'un corps de nombres $ K $, si, pour toute place $ \mathfrak{p} $ de $ L $ ( i.e, tout idéal premier $ \mathfrak{p} $ de $ O_L $ ), est non ramifiée. Est ce que c'est ça Poirot ?
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Au mieux ta phrase est imprécise, au pire elle est fausse.
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Corrige moi alors, au lieu de me laisser perdu comme ça Poirot. :-(
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Mais ouvre un cours de théorie algébrique des nombres, c'est une définition de base !
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Bonjour!
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