Somme des carrés des nombres consécutifs
dans Arithmétique
Bonjour, je vous présente quelques résultats trouvés aujourd'hui .. Je ne publie pas, pour le moment, la formule car je suis presque sûr qu'elle est connue.
$36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$
$171^2+172^2+173^2+174^2+175^2+176^2+177^2+178^2+179^2+180^2 \\
\hspace{1cm}=181^2+182^2+183^2+184^2+185^2+186^2+187^2+188^2+189^2$
a+
Fibonacci
$36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$
$171^2+172^2+173^2+174^2+175^2+176^2+177^2+178^2+179^2+180^2 \\
\hspace{1cm}=181^2+182^2+183^2+184^2+185^2+186^2+187^2+188^2+189^2$
a+
Fibonacci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$$\sum_{i=0}^n(x+i)^2=\sum_{i=n+1}^{2n}(x+i)^2
$$ en tant que polynôme en $x$ a les racines $x_1=-n$ et $$x_2=\dfrac{1^2+2^2+\cdots+n^2-(n+1)^2-(n+2)^2-\cdots-(2n)^2}{-n}.
$$ La question pourait être [de] trouver quand les $x_2$ sont entiers en fonction de $n$.
21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
Le premier exemple vient de 36//45-1 : 2 nombres triangulaires consécutifs
Et le 2ème exemple vient aussi de 2 nombres triangulaires consécutifs.
\sum_{i=0}^n(2n^2+n+i)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)(12n^2+12n+1)}{6}=\sum_{i=n+1}^{2n}(2n^2+n+i)^2.\]Edit : j'ai fini par voir la faute de frappe dans la première phrase – corrigée – quand la formule était correcte. Merci à Tonm pour sa patience et sa vigilance.
On cherche $n$ et $p$ pour lesquels : $\sum\limits_{k=n-p}^n k^2=\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}k^2$.
En utilisant l'égalité $\sum\limits_{k=1}^mk^2=\dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}$, on trouve que $n=2p(p+1)$.
Ce qui est vrai pour les deux exemples.
Cordialement.
Je suppose que cette relation était connue, mais je ne l'ai jamais vue.
a+
Fibonacci