Forme modulaire pour $\Gamma_0(64)$
dans Arithmétique
C'est une question dans un exercice.
$\frak f$ désigne la première fonction de Weber. J'ai ${\frak f}(\tau)^6=\zeta_8{\frak f}_1(\tau+1)^6$. J'arrive à prouver que ${\frak f}(\tau)$ est invariante par $\Gamma(8)=\{\gamma\in SL_2\mid \gamma=id \bmod8\}$. C'est facile car $\Gamma(8)$ est distingué.
Je dois prouver que ${\frak f}(8\tau)^6$ est modulaire pour $\Gamma_0(64)=\Big\{\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL_2 \mid 64\text{ divise } c\Big\}$.
Alors j'ai bien pour $\gamma\in\Gamma_0(64)$, ${\frak f}(8\gamma\tau)={\frak f}(\tilde\gamma8\tau)$ avec $\tilde\gamma=\begin{pmatrix}
a&8b\\8c&d\end{pmatrix}$ sauf que $a,d$ sont quelconques et je ne fais pas le lien avec l'indication du texte qui demande de prouver l'invariance par $\Gamma(8)$.
Merci pour toute indication.
$\frak f$ désigne la première fonction de Weber. J'ai ${\frak f}(\tau)^6=\zeta_8{\frak f}_1(\tau+1)^6$. J'arrive à prouver que ${\frak f}(\tau)$ est invariante par $\Gamma(8)=\{\gamma\in SL_2\mid \gamma=id \bmod8\}$. C'est facile car $\Gamma(8)$ est distingué.
Je dois prouver que ${\frak f}(8\tau)^6$ est modulaire pour $\Gamma_0(64)=\Big\{\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL_2 \mid 64\text{ divise } c\Big\}$.
Alors j'ai bien pour $\gamma\in\Gamma_0(64)$, ${\frak f}(8\gamma\tau)={\frak f}(\tilde\gamma8\tau)$ avec $\tilde\gamma=\begin{pmatrix}
a&8b\\8c&d\end{pmatrix}$ sauf que $a,d$ sont quelconques et je ne fais pas le lien avec l'indication du texte qui demande de prouver l'invariance par $\Gamma(8)$.
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