Nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Je bloque sur une équivalence.
Soit $p_i$ des nombres premiers distincts donc premiers entre eux.
Un entier est divisible par chaque $p_i$ si et seulement si il est divisible par $\displaystyle\prod_{i} p_i$
<= S'il est divisible par $\displaystyle\prod_{i} p_i$ alors il est évidemment divisible par chaque $p_i$ mais je ne trouve pas la réciproque.
=> Si $n$ est divisible par chaque $p_i$ alors $\forall i \in I \ \ \exists q_i \in \N \ \ n= p_i q_i$. Après je bloque.
Je bloque sur une équivalence.
Soit $p_i$ des nombres premiers distincts donc premiers entre eux.
Un entier est divisible par chaque $p_i$ si et seulement si il est divisible par $\displaystyle\prod_{i} p_i$
<= S'il est divisible par $\displaystyle\prod_{i} p_i$ alors il est évidemment divisible par chaque $p_i$ mais je ne trouve pas la réciproque.
=> Si $n$ est divisible par chaque $p_i$ alors $\forall i \in I \ \ \exists q_i \in \N \ \ n= p_i q_i$. Après je bloque.
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Réponses
D'accord merci MrJ.
Notons $P(n)$ la propriété à démontrer : si $m$ est divisible par chaque nombre premier $p_i$ avec $1 \leq i \leq n$ alors il est divisible par $\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i$.
Au rang $n=1$ la propriété est évidemment vraie.
Supposons $P(n)$ vraie. Si $m$ est divisible par $p_1, \cdots, p_n,p_{n+1}$ alors il est divisible par $p_i$ avec $1 \leq i \leq n$ d'après l'hypotèse de récurrence.
Donc il existe $q \in \N$ tel que $m=\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i \times q$
Mais $m$ est divisible par $p_{n+1}$ donc il existe $r \in \N$ tel que $m=p_{n+1} q'$
On a donc l'existence d'entiers $q,r$ qui vérifient l'égalité $\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i \times q = p_{n+1} q'$
Donc $p_{n+1}$ divise $\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i \times q$ avec $p_{n+1}$ premier avec $\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i$ donc d'après le lemme de Gauss, $p_{n+1}$ divise $q$.
Il existe donc $s$ entier tel que $q= p_{n+1} s$
Ainsi, $m=\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i \times p_{n+1} s $
Finalement $\boxed{m=\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1} p_i \times s}$ ce qui montre $P(n+1)$.