Cas particulier de la conjecture de Goldbach
dans Arithmétique
Bonjour tout le monde,
Je me pose depuis quelques temps une question, qui peut être vue comme une version restreinte de la conjecture de Goldbach, à savoir si:
Pour tout nombre premier p, il existe deux autres nombres premiers p_1 et p_2 tels que:
1+p = p_1+p_2
Je suis en master de mathématiques. J'avais fait un peu de théorie analytique des nombres en bachelor mais ce n'est pas mon domaine de spécialisation.
J'ignore si cette question est plus du ressort de l'analyse que de l'arithmétique mais je l'ai mise dans la catégorie "analyse".
Je voudrais bien savoir ce que les autres en pensent, si cela a déjà été étudié et s'il serait plus ou moins facile d'y répondre, ou alors aussi ardu que la conjecture de Goldbach...
Merci pour vos commentaires !
Je me pose depuis quelques temps une question, qui peut être vue comme une version restreinte de la conjecture de Goldbach, à savoir si:
Pour tout nombre premier p, il existe deux autres nombres premiers p_1 et p_2 tels que:
1+p = p_1+p_2
Je suis en master de mathématiques. J'avais fait un peu de théorie analytique des nombres en bachelor mais ce n'est pas mon domaine de spécialisation.
J'ignore si cette question est plus du ressort de l'analyse que de l'arithmétique mais je l'ai mise dans la catégorie "analyse".
Je voudrais bien savoir ce que les autres en pensent, si cela a déjà été étudié et s'il serait plus ou moins facile d'y répondre, ou alors aussi ardu que la conjecture de Goldbach...
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Réponses
Pour tout nombre premier impair $p$, il existe 2 autres nombres premiers $p_1$ et $p_2$ tels que $1+p=p_1+p_2$
Est-ce que cette conjecture est vraie ? Très probablement. Pour un nombre pair $n$, le nombre de décompositions en somme de nombres premiers est généralement supérieur à $\ln(n)$ ( je ne me souviens plus des valeurs, et c'est probablement plus que ça), donc il serait surprenant que la conjecture de Goldbach soit fausse, et il serait encore plus surprenant que ta conjecture soit fausse.
Est-ce que cette conjecture est plus facile à démontrer que la conjecture de Goldbach ? Je ne vois pas le début d'une piste.
Edit :
J'ajoute un point, plus ou moins pour répondre à Gebrane : non seulement je ne vois pas le début d'une piste de démonstration, mais ne te lance pas dans cette histoire. Cette conjecture est certainement aussi compliquée à montrer que la conjecture de Goldbach. Le fait de se limiter à certains entiers pairs ne simplifie en rien la démonstration. (sauf bien sûr si tu avais la bonne idée de te limiter aux entiers de la forme $p+3$ ou $p+5$ ou ... !
Je ne pense pas que cette question apporte un semblant de résolution sur cette conjecture.
Comme l'indique @Lourrran on réduit la conjecture au nombre de nombres pair équivalent au nombre de nombres premiers $\leqslant {n}$ sans apporter un semblant de réponse.
Si on prend $n = 100 000$ il y a $50000$ nombres pairs et 9586 nombres premiers donc, 9586 nombres pairs...
On va supposer que $p+3$ ; $p+5$ et $p+7$ vont couvrir ta conjecture et probablement qu'avec une analyse il est possible de montrer que ce serra le cas pour ces 9586 nombres pairs . Mais le problème reste entier...non ?
De plus je pense que ce cas a surement été analysé depuis longtemps vue le petit écart qu'il y a entre les 10 nombres premiers inférieur à 30.
Il y a un peu partout des tables d'additions de nombres premiers pour écrire la suite des nombres pairs jusqu'à une certaine limite ....
Des analyses ont été faites depuis plus de deux siècles, sur la densité de nombres premiers qu'il faut pour écrire les nombres pairs, comme étant la somme de deux nombres premiers.
Trois questions :
Est-ce que l'on a besoins de connaître le nombre de nombres premiers $q\in[N ; 2N]$ la réponse est non .
Est-ce que l'on a besoins de connaître le nombre de nombres premiers $p\not\equiv{2N}[P]$ avec $p\leqslant{N}$ la réponse est non .
Alors : qu'a t'on besoin de connaître en plus du nombre de nombres premiers $p\leqslant{N}$ afin de ne pas tenir compte uniquement de ces nombres premiers p. ??
Ta conjecture est moins forte que celle de Goldbach, ce qui ne veut pas dire qu'elle soit plus facile à démontrer (ou infirmer, ce qui infirmerait celle de Goldbach). C'est clairement une question de théorie des nombres, mais aujourd'hui on utilise beaucoup d'analyse en théorie des nombres. C'est donc en arithmétique que tu trouveras les recensions les plus récentes du sujet, par exemple sur Arxiv (et aussi plein de prétentions fantaisistes ailleurs sur le net). mais attention, ce sujet est addictif généralement sans résultat utile.
Bon travail pour ton master !
En tout cas, on peut affirmer que ton résultat est vrai pour presque tout nombre premier $p$. En effet, il est connu que le nombre d'entiers pairs $n \leq N$ qui ne sont pas somme de deux nombres premiers est au plus $N^{1-\delta}$ pour un certain $\delta > 0$ (voir ce papier de Montgomery et Vaughan). Comme le nombre de nombres de la forme $p+1 \leq N$ avec $p$ premier est équivalent à $\frac{N}{\log N}$, ceux qui ne sont pas somme de nombres premiers forment un ensemble de densité $0$ parmi eux.
lorsque il y a environ deux ans, vous m'avez fait la démonstration suite à mon affirmation : le nombre de nombres premiers $q\in[N;2N]$ est une conséquence directe du TNP qui vaut environ ; $\frac {N} {Ln(2N)}$
On peut donc en déduire que le nombre de couples $p+q = 2N$, pour une limite $2N$ fixée vaut environ : $\frac {N} {(Ln(N)\;*\;Ln(2N))}$
"Cette estimation est caractérisée par les deux cribles : Ératosthène et Goldbach, ce qui permet d'en déduire qu'il s'agit là aussi d'une conséquence directe de ces deux algorithmes et donc du TNP"
Car en définitive le nombre d'entier $A$ non nul, impairs, de 1 à N ; tel que $A\not\equiv{2N} [P]$ , avec $P\leqslant\sqrt{2N}$ indique le nombre de nombres premiers $q$ , dont on a pas besoins de s'occuper....
Par conséquent : On peut surement dire que la probabilité de tirer au hasard un nombre premier $p\not\equiv{2N} [P]$ vaut alors :
$\frac{1}{(Ln(N)\;*\;Ln(2N))}$ ....Non ? ou je me trompe...?
Pour chaque $n\leqslant {4*10^{18}}$ elle est vraie , alors pour $n$ supérieur à cette limite, ne te gène pas pour utiliser la fonction que j'ai indiquée plus haut, qui te donne une estimation minimum du nombre de couples $p+q = n$ pair ....
Puisque tu ne pourras jamais prouver que l'estimation vaut 0 :)o :-D; ni que ce minimum est faux , c'est à dire qu'il existe une limite $n$ où le nombre minimum de solutions qui décomposent $n\geqslant{4*10^{18}}$ pair en somme de deux nombres premiers est inférieur à cette fonction....
Car sinon tu peux écrire à tous les spécialistes de cette conjecture que leurs estimations sont fausse....fin de commentaires.
On sait qu'elle est vraie jusqu'à la limite $n=4*10^{18}$ mais on peut montrer aussi qu'elle est vraie sur des milliards de limite successives $n+2 ......+2 $ et ainsi de suite , mais : quelle est l'utilité ...?
Une meilleur connaissance de la répartition des nombres premiers de 1 à n et de n à 2n , Quelle utilité ?
À t'on besoins de chercher à résoudre l'Hypothèse de Riemann , pour penser alors que la conjecture de Goldbach est vraie sans avoir besoin de chercher à la résoudre indépendamment par ce que l'on y arrive pas, ou pour avoir une meilleur connaissance de la répartition des nombres premiers c'est à dire par là même une meilleur estimation asymptotique du nombre de nombres premiers ....
Est ce que HR te donne sur la bande critique 1/2 le nombre de zéro non triviaux relatif eaux entiers $A\not\equiv{2N}[P]$ de $1$ à $n$ qui représentent les nombres premiers $q\in[n ; 2n]$ puisque les zéros non triviaux de cette conjecture sont censé représenter les nombres premiers de 1 à n et aussi de n à 2n non ?, ou est-ce inutile ...?
Par contre je ne vois pas l'intérêt et surtout l'utilité de tes interventions dans ce sujet...!
Est ce que tu sais au moins le nombre de solutions qui vérifient la limite actuelle $n=4*10^{18}$ et par conséquent quel était le nombre d'entiers $A\not\equiv{2N}[P]$ qui précédaient un nombre premier $p$ de 1 à (n/2 - 2) = 1 999 999 999 999 999 998 ??? Et donc comment tu en déduits alors, qu'elle est vraie pour $n=4*10^{18} + 2$ et quelle le serra encore sur plusieurs limites successives n +2 ....+2 jusqu'à $5*10^{16}$ asymptotiquement :-D