Écriture entier dans une base de numération

brunop · April 2021

Bonjour
J'ai une petite interrogation concernant le théorème ci-dessous.

Soit $b\in\mathbb{N}$, avec $b \geq 2$. Pour tout $N\in\mathbb{N}$, il existe un unique entier naturel $n$ et une seule suite fini ($a_{0},~a_{1},~\ldots,~a_{n}$) de $n+1$ termes éléments de $\mathbb{N} \cap [0,~b-1]$ tels que $N = \sum_{k=0}^{k=n} a_{k}b^{k}$ et $a_{n} \neq 0$.

Est-ce que ce théorème exclut $N = 0$ ? Car dans le cas contraire, comment peut-on avoir $a_{n} \neq 0$.
Par avance merci.

jp nl · April 2021

Bonjour.
Effectivement, il faut considérer $N$ dans $\N^*$.
Pas d'écriture sous forme de la somme décrite pour $N=0$.

brunop · April 2021

Merci. Cela signifie que $\mathbb{N}$ peut s'interpréter comme $\mathbb{N}^{*}$ ou comme $\mathbb{N}$ incluant 0. Qu'elle est du coup la convention d'écriture ?
Merci,

gerard0 · April 2021

La notation $\mathbb N$ n'a qu'une seule signification. Il y a simplement une typo dans ton théorème (oubli du * dans $\mathbb N^*$); peut-être par confusion avec un théorème sur l'unicité d'écriture des entiers dans une base entière donnée).

Cordialement.