Sur une fonction arithmétique

Récemment, un conflit m'a opposé à Stator, et j'ai dit (et je le redis) que je n'interviendrai plus sur les messages de cet intervenant, le trouvant trop impoli à mon goût.

Néanmoins, la question posée était pertinente, et comme je m'étais trompé dans ma première réponse donnée, l'objet de ce fil est triple :

(i) Reformuler sa question en terme plus explicite ;

(ii) Répondre et corriger mon précédent message ;

(iii) Généraliser.

$\triangleright$ Question. On fixe $r \geqslant 1$ entier, et soit $f_r$ une fonction arithmétique satisfaisant la relation de convolution
$$\forall x \geqslant 1, \quad \sum_{n \leqslant x} f_r(n) \left \lfloor \frac{x^r}{n^r} \right\rfloor = 1.$$
Estimer $\displaystyle \sum_{n \leqslant x} f_r(n)$.

$\triangleright$ Réponse. Il s'agit d'une situation taubérienne. La résolution passe par le petit lemme suivant.

Lemme. Soit $g$ une fonction arithmétique quelconque. Si, pour tout $z \geqslant 1$, $\displaystyle \sum_{n \leqslant z} (g \star \mathbf{1})(n) = 1$, alors $\displaystyle \sum_{n \leqslant z} g (n) = \sum_{n \leqslant z} \mu(n)$.

Démonstration. C'est une inversion de Möbius : posons $h:=g \star \mathbf{1}$. Par Möbius, $g = h \star \mu$, et donc
$$\sum_{n \leqslant z} g (n) = \sum_{n \leqslant z} \sum_{d \mid n} \mu(d) h(n/d) = \sum_{d \leqslant z} \mu(d) \sum_{k \leqslant z/d} h(k) = \sum_{d \leqslant z} \mu(d) .$$

On est maintenant en mesure de répondre à la question.

Par inversion des sommations,
$$\sum_{n \leqslant x} f_r(n) \left \lfloor \frac{x^r}{n^r} \right\rfloor = \sum_{n \leqslant x^r} \sum_{d \mid n} \mathbf{1}_r(d) f_r \left( d^{1/r} \right) = \sum_{n \leqslant x^r} (g_r \star \mathbf{1})(n)$$
où $\mathbf{1}_r(d) = 1$ si $d$ est une puissance $r$ème et $0$ sinon et $g_r (n):= \mathbf{1}_r(n) \times f_r \left(n^{1/r}\right)$. Comme le membre de gauche vaut $1$ par hypothèse, le Lemme ci-dessus implique que
$$\sum_{n \leqslant x^r} g_r (n) = \sum_{n \leqslant x^r} \mu(n)$$
et la somme à gauche vaut
$$\sum_{n \leqslant x^r} \mathbf{1}_r(n) \times f_r \left(n^{1/r}\right) = \sum_{n \leqslant x} f_r(n).$$
Ainsi
$$\sum_{n \leqslant x} f_r(n) = \sum_{n \leqslant x^r} \mu(n)$$
et, avec les estimations connues de la fonction de Mertens, on obtient finalement
$$\sum_{n \leqslant x} f_r(n) = \begin{cases} O \left( x^r e^{-c_r (\log x)^{3/5} (\log \log x^r)^{-1/5}} \right),& \textrm{inconditionnellement} \, ; \\ & \\ O \left( x^{r/2+\varepsilon} \right), & \textrm{sous HR}. \end{cases}$$