Une équation diophantienne

clloud · April 2021

Bonjour
Pour déterminer les inversibles des entiers d'Eisenstein ($\Z[j]$ où $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$), il me faut résoudre dans $\Z^2$ l'équation suivante :
$$
a^2-ab+b^2=1.

$$ Voici ci-dessous ma solution, mais je ne suis pas très satisfait, vous parait-elle convenable ? Merci d'avance.

Je raisonne par analyse-synthèse :
Analyse:
Soit $(a,b)\in \Z^2$ tel que $ a^2-ab+b^2=1$, montrons $|a| \leq 1$ et $|b| \leq 1$.
Par contraposée :
Si $|b|> 1$, considérons $\begin{array}[t]{lrcl}
f_b : & \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & x^2-bx+b^2 \end{array}$

C'est une fonction polynomiale de minimum $f_b(\frac{b}{2}) = \frac{3}{4}b^2> 1$. Ainsi $f_b(a) >1$ et donc $ a^2-ab+b^2\neq1$

Si $|a|> 1$, on raisonne de même en considérant $f_a$.

Ainsi $|a| \leq 1$ et $|b| \leq 1$, d'où $(a,b)\in \{(0,0),(\pm 1,0),(0,\pm 1),(\pm 1,\pm 1)\}$

Synthèse:
On trouve 6 solutions : $\{(\pm 1,0),(0,\pm1), (1,1),(-1,-1)\}$

Rescassol · April 2021

Bonjour,

On peut faire plus simple mais le résultat est correct.

Cordialement,

Rescassol 121044

YvesM · April 2021

Bonjour,

Solution algébrique :
$(a+b)^2=a^2+b^2+ 2 a b.$
$(a-b)^2=a^2+b^2- 2 a b.$

${3\over 4}(a-b)^2+{1\over 4} (a+b)^2=a^2-a b+b^2.$

Donc $3(a-b)^2+(a+b)^2=4$ et on conclut comme tu le fais.

Solution polynomiale :
$a^2- b a+b^2-1=0$ donne $b^2-4 (b^2-1)=-3 b^2+4\geq 0$ donc $|b|\leq 1.$ Par symétrie, $|a|\leq 1.$

clloud · April 2021

Merci pour votre réactivité, je me doutais qu'il y avait beaucoup plus simple ! (:D

Poirot · April 2021

Encore plus simple : pour tous réels $a$ et $b$ on a $a^2 + b^2 \geq 2|ab|$ puisque la différence vaut $(a \pm b)^2$. Si $a^2-ab+b^2=1$ alors avec ce qui précède on obtient $|ab| \leq 1$ (distinguer selon le signe de $ab$).

soland · April 2021

Encore une idée : tout multiplier par 2 :

$a^2+(a-b)^2+b^2 =2=$
$0+1+1=$
$1+0+1=$
$1+1+0$

Chaurien · April 2021

Ou multiplier par $4$ : $(2a-b)^2+3b^2=4$.
C'est la méthode « forme canonique » de $a^2-ab+b^2$ considéré comme trinôme en $a$.
D'où $b=0$ ou $b=1$ ou $b=-1$, etc.

Chaurien · April 2021

Puisqu'on parle de l'anneau des des entiers d'Eisenstein $\mathbb E=\mathbb Z[j]=\mathbb Z+\mathbb Zj$, voici une question.
Pour tout $z\in \mathbb{C}$, soit classiquement : $d(z,\mathbb{E})=\underset{w\in \mathbb{E}}{\min }\left\vert z-w\right\vert $.
Géométriquement, on voit que : $\underset{z\in \mathbb{C}}{\max }d(z,\mathbb{E})=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Mais quelqu'un pourrait-il en donner une démonstration purement algébrique ?
Autrement dit : $\underset{z\in \mathbb{C}}{\max }\underset{w\in \mathbb{E}}{\min }\left\vert z-w\right\vert =\frac{\sqrt{3}}{3}$ ?
Bonne journée.
Fr. Ch.