Pgcd et corps finis

Bonjour gilderetz,

Je crois que la question que tu poses est la suivante: soient $P$ et $Q$ dans $\Bbb Z\left[x\right]$ tels que pour tout nombre premier $p$ de $\Bbb Z$ on ait $\overline{P}$ et $\overline{Q}$ premiers entre eux dans $\Bbb F_p\left[x\right]$ (où $\overline{P}$ et $\overline{Q}$ désignent les réduits modulo $p$ de $P$ et $Q$). A-t-on que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\Bbb Z\left[x\right]$?

Déjà, il faudrait s'entendre sur ce qu'on veut dire par "premiers entre eux" dans l'anneau non principal (!) $\Bbb Z\left[x\right]$: je propose de définir cela en disant que $P$ et $Q$ engendrent $\Bbb Z\left[x\right]$, c'est-à-dire qu'il existe $U$ et $V$ dans $\Bbb Z\left[x\right]$ tels que $UP+VQ=1$.

La question étant posée, je crois avoir une démonstration mais j'écris juste les étapes (avec beaucoup d'implicite) pour le moment parce qu'elle utilise de (beaux!) outils non élémentaires. Je donnerai plus de détails si personne ne propose une démonstration plus simple!

Étape 1: Montrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\Bbb Q\left[x\right]$. Pour ce faire, j'utilise le principe de Lefschetz (donc de la théorie des modèles). [édition de mon message pour une autre façon de le montrer: le résultant $Res(P,Q)$ de $P$ et $Q$ est non nul mod $p$ pour tout $p$, donc $Res(P,Q)=\pm1$ et donc $P$ et $Q$ sont premiers entre eux].

Étape 2: Puisque $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\Bbb Q\left[x\right]$, on peut trouver $U$ et $V$ dans $\Bbb Z\left[x\right]$ tels que $UP+VQ=c$ ou $c$ est un entier naturel non nul. On prend $c$ minimal et on veut montrer que $c=1$. Il s'avère que les premiers divisant $c$ sont ceux divisant $Res(P,Q)$ (la résultante de $P$ et $Q$). Mais puisque $P$ et $Q$ sont premiers entre eux mod $p$ pour tout $p$, on a $Res(P,Q)\neq0\in\Bbb F_p$ et donc $Res(P,Q)=\pm 1$, si bien que $c=1$.

Bonne journée,
Gaussien