Une équation dans NxN

Fousson · May 2021

Bonjour,
La solution infra vous paraît-elle correcte ?
Voyez-vous d'autres méthodes ?
Ma première idée était de transformer en une équation modulo 2, puis 2 puissance k, puis 3 et d'en tirer une impossibilité mais cela n'a rien donné.
Je passe beaucoup de temps pour trouver les solutions de ce genre d'exercice (1 à 2 heures réparties sur plusieurs jours), cela est-il normal ? Sinon, avez-vous des conseils particuliers ?
Merci d'avance.

Modification : oubli cas des facteurs égaux à 1 121638

marco · May 2021

Je ne comprends pas comment tu aboutis à $2$ divise $m-1$ et $2$ divise $m^2+m+1$. En effet si $m=3$, alors $2$ divise $m-1$, mais $2$ ne divise pas $m^2+m+1$.

Fousson · May 2021

Il est fort probable que ma solution est fausse Marco. Merci pour ton retour. J'ai besoin d'un peu de temps pour analyser ta réponse. L'idée était d'utiliser la factorisation première et d'affirmer que si 2^n est égal à un produit, alors les 2 termes sont également des puissances de 2 (1 compris mais absurde ici). J 'ai voulu prouver ça via les valeurs p-adiques. Je retravaille dessus et recherche autre chose.

marco · May 2021

Pardon, je n'avais pas compris l'idée. Ta solution est correcte. J'aurais seulement écrit: $m^2+m+1$ est toujours impair, et est une puissance de $2$, donc est égal à $1$. Donc $m^2+m+1=1$, ce qui est absurde.

Chaurien · May 2021

Effacé. Marco a raison.

Chaurien · May 2021

Et d'autres équations $2^n+1=m^a$, aux inconnues $n \in \mathbb N$, $m \in \mathbb N$, avec $a$ donné, $a \in \mathbb N$, $a \ge 2$ ?

Cidrolin · May 2021

Peut-on utiliser la "Conjecture de Catalan" ?

Chaurien · May 2021

À mon avis, mieux vaut résoudre l'équation avec les moyens élémentaires, sinon c'est terminé. L'argument de parité utilisé pour $a=3$ peut s'adapter aux autres valeurs. Et aussi pour $2^n-1=m^a$

lourrran · May 2021

si 2^n est égal à un produit, alors les 2 termes sont également des puissances de 2

Cet argument, tu l'as donné quand Marco a posé la question. Il fallait le mettre dans le texte initial. C'est la petite phrase qui va aider le lecteur à lire ta démo, en confiance.
Là, on lit la démo, on cherche les erreurs, et on cherche en même temps où tu veux en venir. Si tu dis tout de suite ton plan de travail , après on contrôle juste les calculs. Ou même, on ne les contrôle pas, parce qu'on sait que c'est la bonne démarche.

L'autre point que tu abordais c'est : Je passe beaucoup de temps pour trouver les solutions de ce genre d'exercice (1 à 2 heures réparties sur plusieurs jours)
Alors, 1 a 2 heures réparties sur plusieurs jours, ça ne peut pas être très bon.
Ça veut dire plusieurs fois 15 ou 20 minutes.
Ou même plusieurs fois 10 ou 15 minutes si tu passes 10 minutes le matin, puis 10 minutes le soir, et pareil pendant 2 ou 3 jours.
4 ou 5 séances de 10 minutes, c'est moins productif qu'une séance de 20 minutes.

Personnellement, quand je lis un exercice, je cherche la solution. Si je ne trouve pas, et que j'ai l'obligation de passer à autre chose, en général, je me souviens de l'énoncé, je me souviens des informations utiles pour la question qui me bloque. Je ne fais pas l'effort de m'en souvenir, mais comme je viens de passer 15 ou 20 minutes sur le sujet, c'est ancré quelque part dans ma mémoire.
Et plus tard, quand je serai dans les transports, ou quand je serai en train de faire du sport, peut-être que le sujet va me revenir en tête, m'obséder... et c'est là que je vais trouver une nouvelle idée qui me mènera peut-être à la solution.
Mais quand je fais du sport, je suis déconnecté de tout. Je n'écoute pas de musique par exemple, Je laisse les idées venir à moi.

Si le jour 1 , tu as passé 15 minutes sur l'exercice, sans avancer, ça ne sert quasiment à rien de réouvrir le livre le jour 2, pour rechercher le même exercice pendant à nouveau 15 minutes. L'étincelle vient quand on s'y attend le moins.

C'est ma façon de fonctionner, ça ne veut absolument pas dire que tout le monde fonctionne comme ça !

Fousson · May 2021

Merci beaucoup lourran pour ton retour. Je vais tenter ton approche qui consiste si j'ai bien compris, a rechercher l'exercice une fois assez longtemps pour s'imprégner du problème, et en cas d'échecs, laisser mon"subconscient" travailler.

MrJ · May 2021

@Chaurîen : Il n’y a qu’une solution $(a,n,m)=(2,3,2)$. Si j’ai le temps, j’écrirais quelques détails demain.

MrJ · May 2021

Résolvons l'équation $2^n+1 = m^a$ pour $(m,n,a)\in\N^3$ avec $a\geq 2$.
1) Si $a$ est impair, en raisonnant comme dans le cas $a=3$, on obtient que l'équation n'a pas de solution.
2) Si $a = 2b$ avec $n\in\N$, alors on a $2^n = (m^b+1)(m^b-1)$. Cette relation n'est que possible si $m^b-1 = 2$ et $m^b+1 = 4$, c'est à dire si $m^b = 3$. On en déduit que $m=3$ et $a=2$, puis finalement $n=3$.

MrJ · May 2021

Par contre, je n’arrive pas à résoudre pour l’équation $2^n - 1 = m^a$ avec $(m,n,a)\in\N^3$ avec $a\geq 2$.
Si $a$ est pair et $n$ est impair, je ne vois pas trop comment avancer par exemple...