Notation : $\chi_4(n)$

Hors contexte on ne peut pas répondre avec certitude, mais il s'agit sûrement du caractère de Dirichlet primitif modulo $4$, défini par $$\chi_4(n) = \left\{\begin{matrix}1 \text{ si } n \equiv 1 \text{ mod } 4\\ -1 \text{ si } n \equiv 3 \text{ mod } 4\\ 0 \text{ sinon}.\end{matrix}\right.$$

Ça m'étonnerait que ce soit au programme de MP, la notation est sûrement définie quelque part dans le texte de l'épreuve.

La définition est bien donnée.

En théorie analytique des nombres, un caractère multiplicatif est pratiquement tout le temps noté $\chi$. Son caractère primitif induit est parfois noté $\chi^\star$, surtout lorsqu'on doit le différencier de $\chi$. Sinon, on omet l'étoile.

L'indice $4$ est parfois indiqué pour le caractère primitif réel de module $4$ donné par $\chi_4(n) = (-1)^{(n-1)/2}$ si $n$ est impair et, bien sûr, $0$ si $n$ est pair.

Il y a deux caractères primitifs modulo $8$ donnés par
$$\chi_8(n) = (-1)^{(n^2-1)/8} \quad \textrm{et} \quad \chi_4 \chi_8(n) = (-1)^{(n-1)/2+(n^2-1)/8}$$
là encore pour tout $n$ impair, $0$ si $n$ pair.

Ces trois caractères sont ceux respectivement associés aux corps quadratiques $\mathbb{Q} (\sqrt{-1})$, $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ et $\mathbb{Q} (\sqrt{-2})$.