Approximation d'une somme

Par inversion des sommations, cette somme est égale à
$$\sum_{n \leqslant x} \omega(n)$$
où $\omega(n)$ désigne le nombre de facteurs premiers distincts de $n$, et pour lequelles on a pas mal de résultats précis depuis un moment. Par exemple, Saffari montre en 1970 que, pour tout $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, on a
$$\sum_{n \leqslant x} \omega(n) = x \log \log x + Mx + x \sum_{j=1}^N \frac{a_j}{(\log x)^j} + O \left ( \frac{x}{(\log x)^{N+1}} \right)$$
où $M:= \gamma + \sum_p \left( \log \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right) \approx 0,26149 \dotsc$ est la constante de Mertens, et les coefficients $a_j$ sont donnés par la formule
$$a_j := - \int_1^\infty \frac{\{t\}}{t^2} (\log t)^{j-1} \textrm{d}t$$
où $\{t\}$ est la partie fractionnaire de $t$. Notons que $a_1 = \gamma - 1$ et $a_2 = \gamma + \gamma_1 - 1$, où $\gamma_1 \approx -0,072816 \dotsc$ est la $1$ère constante de Riemann-Stieltjes.

De rien.

L'estimation donnée ci-dessus est le "haut de gamme". Si tu veux une estimation moins précise, alors un calcul direct utilisant $\lfloor x \rfloor = x + O(1)$ donne
$$\sum_{p \leqslant x} \left \lfloor \frac{x}{p} \right \rfloor = x \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} + O \left( \pi(x) \right) = x \left\{ \log \log x + M + O \left( \frac{1}{\log x} \right) \right\} + O \left( \frac{x}{\log x} \right) = x \log \log x + Mx + O \left( \frac{x}{\log x} \right)$$
ce qui constitue le résultat de base de cette fonction.