Des nombres qui font bande à part

Bonjour.

En voici déjà la liste (et la "quantité" d'articles répertoriés qui traitent de cela).

À bientôt.

Pas de soucis.

Je trouve personnellement qu'il y a peu d'articles sur cette suite (contrairement à la quantité d'articles sur ses sous-suites en progression arithmétique et qui respectent des conditions particulières, apparemment cela a semblé être une performance pour ceux qui l'ont fait).

Je vais voir si je ne peux pas retrouver d'autres documents.
J'en avais eu besoin à une époque pour me faire une idée précise de la conjecture de Carmichael.

Cordialement.

Bonsoir.

Désolé pour l'attente, cela a été plus compliqué que prévu.

Finalement, il n'y avait pas tant de choses que cela il y a 10 ans, mais j'ai toutefois retrouvé les quelques documents qui m'ont servis pour ma synthèse.

Le premier, Theorie des groupes, ne m'a été utile pour le sujet que par sa page 22, mais il comporte d'autres éléments qui devraient être intéressants à lire, ne fut-ce que pour passer le temps.

Le deuxième, FermatEuler, est un petit document que je ne retrouve plus sur la toile, en ce y compris son auteur, et cela m'embête assez bien car je me rappelle clairement avoir échangé quelques messages (sans doute sur un blog dorénavant fermé) car il utilisait des arguments de ce raisonnement sur les nombres de Fermat pour attaquer la conjecture de Carmichael, mais était coincé pour finaliser le résultat (la conjecture est encore irrésolue à ce jour).

Le troisième, SemiPremier, était une vague explication liée à RSA, du même blog cité juste avant...

Et le quatrième, article de Kevin Ford tiré d'ArXiV, est assez bien fourni en résultats sur l'indicatrice, notamment le paragraphe 7.3 parlant de la conjecture de Carmichael, mais il y a bien plus, malheureusement il est en anglais (et assez technique par endroits).

A cela s'ajoute le "Elementary Number Theory", de Jones et Jones, aussi en anglais et présentant l'impossibilité pour l'indicatrice de valoir 14 comme exercice.

Ce sont les seuls documents que j'ai retrouvé d'alors.

Bonjour.

En ce qui me concerne, j'ai fait une petite séquence bricolée en Maxima (enfin, j'ai surtout essayé d'utiliser les primitives de base qui sont dessus, je sollicite toute l'indulgence possible, c'est ma première tentative avec ce logiciel, toute amélioration de mon bricolage est la bienvenue) :

L1:makelist(totient(i), i, 3, 3000000)$
m:last(sort(L1))$
r:2*floor(m/1.78107241799*(log(log(m*1.0)))+3/(log(log(m*1.0))))/2)$
S1:setify(L1)$
L2:2*makelist(i,i,1,floor(m/2))$
S2:setify(L2)$
S3:setdifference(S2, S1)$
L3:listify(S3);

Quelques explications :

_ Faire la liste des totients jusqu'à une valeur donnée à été facile car la fonction totient est implémentée en maxima, par contre, cela donne la liste des valeurs renvoyées par phi, avec des doublons.

_ C'est la raison pour laquelle, après avoir vainement tenté de faire le tri et supprimer les doublons, j'ai trouvé la primitive qui transforme une liste en ensemble (setify) et qui a le bon goût d'à la fois trier et supprimer les doublons.

_ Il est facile de voir qu'il y a une fonction biscornue avec les log de log, c'est l'estimation optimale de la valeur minimum qui est renvoyée pour un nombre donné. Cela permet évidemment de savoir à partir de quand la liste constituée risque de ne plus être correcte (j'ai choisi 3000000 car le résultat de cette borne minimum était alors un peu supérieur à 500000, ce qui donne la taille de la liste, par une division par deux puisqu'il s'agit de nombres pairs).

_ Comme le résultat est la liste des valeurs renvoyées par phi, il faut en extirper les valeurs qui ne s'y trouvent pas.
Là aussi, après avoir vainement cherché comment manipuler les listes pour obtenir le résultat, sans succès, la primitive setdifference m'a finalement donné ce que je demandais.

_ En tout, cette séquence prend, pour le nombre de valeurs demandées, moins d'une minute pour sortir les résultats (pour les voir afficher, il faut remplacer les dollars finaux par des points-virgules), attention que cela a saturé la mémoire d'affichage lors de certains tests que j'ai fais pendant que je réaffectais continuellement la même liste avec affichage, donc les dollars c'est plus qu'une simple précaution.

Ce que j'en retire : A l'avenir, avant de conseiller une solution logicielle, je m'assurerais que ce que je propose tiens la route.
Pour le cas d'espèce, cela m'a donné des sueurs froides toute cette débauche de traitements de listes et d'ensembles alors qu'une simple itération est, avec mon centième de pourcent de connaissances de ce logiciel, hors de ma maîtrise (et cela fait drôle de sentir qu'on ne maîtrise plus une bête itération).

Concernant ta calculette, c'est effectivement très peu (j'imagine que ce n'est pas une 92-II ou une 92-plus).
C'est à peine si tu pourrais stocker la liste de l'OEIS dessus.
Ce n'est pas pour critiquer, elle a d'autres avantages, mais seulement 70ko de mémoire, c'est insuffisant pour avoir des "grandes" valeurs d'anti-indicatrice.
D'une certaine façon, cela peut aussi être un challenge d'arriver à les générer, mais il ne faut pas avoir les yeux plus gros que le ventre.

J'espère que tout cela ne va pas te démotiver et que tu poursuivras ton "petit jeu".

Il y a encore pleins de choses à creuser sur cette fonction.

À bientôt.

Mon programme calcule la liste des totients compris entre $0$ et $n$ (exclus). Un totient s'écrit $p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1) \dots (p_k-1)$. On coche d'abord le nombre $1$ dans un tableau de $n$ booléens. Pour tout $p$ premier compris entre $2$ et $n$, on parcourt avec $q$ le tableau de $n-1$ jusqu'à $1$, si $q$ est déjà coché, on coche $q(p-1)$, $qp(p-1)$, $qp^2(p-1)$, ..., $qp^a(p-1)$ tant que $qp^a(p-1)$ est plus petit que $n$.
À la fin, on a la liste des totients.
Cela évite de décomposer $i$ en facteur premier, ou de chercher les $j<i$ premiers avec $i$ pour calculer $\phi(i)$.
(je ne sais pas si c'est plus rapide)
On aurait peut-être pu faire cela avec une liste (au lieu d'un tableau), que l'on agrandit au fur et à mesure (en partant de la liste contenant seulement le nombre $1$).