Nombres premiers dans leur ensemble

Bonjour,
J'ai eu beaucoup de mal avec la question 2 de l'exercice suivant. Si la récurrence de la question 1 ne m'a pas posé de problèmes, j'ai passé plusieurs jours sur la question 2 . Plus précisément, j'ai rapidement vu le lien avec la question 1, le fait que l'existence et l'unicité nécessite l'utilisation de la division euclidienne, et que le fait que les xi soient inférieurs à ai les identifient à des restes de division euclidienne par ai. Mais c'est de "coller" ensemble tout ces morceaux qui a été difficile. J'avais pourtant essayé sur 2 entiers. La réponse proposée infra vous convient-elle? Quelle est l'utilité de ce résultat ? Une sorte de division euclidienne mais avec un critère sur le reste, non entier, différent?
Merci par avance.