Exercice entiers premiers entre eux
dans Arithmétique
Bonjour
Je souhaite démontrer le résultat suivant.
Soit $m$ un nombre irrationnel positif. Alors pour tout $\epsilon > 0$, il existe $ u \in \mathbb{N}$ et $ v \in \mathbb{N}$ premiers entre eux tels que $$ | v - um| < \epsilon.
$$ Au début, il me semblait que c'était une simple application de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ car pour $u > 0$ :
$$ | v - um| = u | \frac{v}{u} - m| .
$$ Néanmoins ce n'est pas clair s'il est possible de contrôler $u$ pour que cela reste borné par $\epsilon$. Puis j'ai fait quelques tentatives en fixant $u = 10^n ,\ 7^n,\ 2^n$. Puis de déterminer $n$ tel que l'intervalle $[um - \epsilon, um+ \epsilon]$ contienne un entier. Dans ce cas pour $\epsilon$ petit, l'entier est la partie entière de $um+ \epsilon$.
Auriez-vous quelques pistes ?
Je vous remercie par avance.
Je souhaite démontrer le résultat suivant.
Soit $m$ un nombre irrationnel positif. Alors pour tout $\epsilon > 0$, il existe $ u \in \mathbb{N}$ et $ v \in \mathbb{N}$ premiers entre eux tels que $$ | v - um| < \epsilon.
$$ Au début, il me semblait que c'était une simple application de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ car pour $u > 0$ :
$$ | v - um| = u | \frac{v}{u} - m| .
$$ Néanmoins ce n'est pas clair s'il est possible de contrôler $u$ pour que cela reste borné par $\epsilon$. Puis j'ai fait quelques tentatives en fixant $u = 10^n ,\ 7^n,\ 2^n$. Puis de déterminer $n$ tel que l'intervalle $[um - \epsilon, um+ \epsilon]$ contienne un entier. Dans ce cas pour $\epsilon$ petit, l'entier est la partie entière de $um+ \epsilon$.
Auriez-vous quelques pistes ?
Je vous remercie par avance.
Réponses
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Connais-tu le théorème d'approximation de Dirichlet ? Celui-ci dit que tu peux trouver un rationnel $\frac{p}{q}$ tel que $\left|m - \frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{q^2}$ (en fait on peut en trouver une infinité mais bon).
La démonstration est très simple, je te donne des indications : Soit $Q \geq 1$ un paramètre. Montre que les $Q+1$ nombres $0, \{m\}, \{2m\}, \dots, \{Qm\}$ (où $\{\cdot\}$ désigne la partie fractionnaire) sont deux à deux distincts, puis déduis-en que deux d'entre eux sont à distance au plus $\frac{1}{Q}$. Il n'y a plus qu'à écrire ce que ça veut dire. -
Je te remercie de ton aide. Je ne me souvenais plus de ce théorème.
Concernant la démonstration. Soit $Q \in \mathbb{N}^*$ un paramètre tel que $ \frac{1}{Q} < \epsilon$. Montrons que ces $Q+1$ nombres sont deux à deux distincts. Pour cela, supposons que $\{km\} = \{j m \}$ avec $0 \leq k < j \leq Q$. On remarque que $jm - km = \lfloor jm \rfloor - \lfloor km \rfloor$. Ainsi : $$ m = \frac{ \lfloor jm \rfloor - \lfloor km \rfloor}{j - k}. $$
Cela est impossible puisque $m$ est irrationnel. Puisque ces nombres sont $[0,1]$, deux d'entre eux appartiennent à l'un des $Q$ intervalles $ \left[ \frac{l}{Q}, \frac{l+1}{Q} \right]$ avec $ 0 \leq l \leq Q -1$. Ainsi il existe $0 \leq k < j \leq Q$ tels que :
$$ | (j-k) m - ( \lfloor jm \rfloor - \lfloor km \rfloor ) | \leq \frac{1}{Q}. $$
En posant $q= j-k$, $p= \lfloor jm \rfloor - \lfloor km \rfloor$ et en notant $d = pgcd(q,p)$, on en déduit que $ | v - um| \leq \frac{1}{dQ} < \epsilon $ où $q = du$ et $p=dv$. On conclut en remarquant que $u$ et $v$ sont premiers entre eux. -
Une autre démonstration est, si je me souviens bien, de considérer les réduites de $m$ de son développement en fraction continue.
PS:
La démonstration suggérée par Poirot, est une application du principe des tiroirs (pigeonhole principle en Anglais)
Si on veut ranger plus de chaussettes qu'il y a de tiroirs, un des tiroirs contiendra au moins deux chaussettes. -
J'ai souvent utilisé ce principe "des tiroirs" sans savoir qu'il avait un nom. Je vous remercie de votre aide.
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Bonjour!
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