Suites d'entiers majoritairement premiers

Léon Claude Joseph · June 2021

En pièce jointe, une construction séquentielle de telles suites.
Cette construction est-elle programmable?
Si oui, comment varie la proportion de nombres premiers dans la suite.

LEG · June 2021

Bonjour

1) Suite d'entiers majoritairement premiers...c'est uniquement au début :)o car tu vas vite te retrouver avec : majoritairement non premiers...

2) Pourquoi commencer à l'envers ?

Alors que {3.4.5} ; 3*4 + ou -5 te donne 17 et 7; puis 3*5 + ou - 4 te donne 19 et 11 idem avec 4*5 + ou - 3 te donne 23 et 17 soit {3.4.5.7.11.17.19.23.59.61} etc etc
programmable oui ... mais pourquoi faire compliquer, si on peut faire simple afin d'avoir une majorité de nombres uniquement premier...:-S

Bon amusement ...

Fin de partie · June 2021

La suite des nombres premiers est une suite qui peut être réellement qualifiée de <<Suites d'entiers majoritairement premiers>>.

Léon Claude Joseph · June 2021

Les premières itérations donnent effectivement des nombres premiers. Pourquoi? Et pour quelle raison apparaissent ensuite des nombres non premiers? Je pense que seule une étude statistique de ce phénomène pourrait nous donner une piste de réponses.

gerard0 · June 2021

Bonjour.

Ton texte est un peu confus, on ne sait pas bien comment tu obtiens ces suites. Toi non plus d'ailleurs puisque tu écris "Cette construction est-elle programmable?".
Une méthode parfaitement définie est généralement programmable (*), la tienne ne l'est pas dans l'état, puisque tu ne la définis pas clairement.
Conclusion : définis clairement la construction de tes suites. Ce qui la rendra programmable, permettra de vérifier ce qu'elle fait, et nous permettra peut-être de t'aider.

Cordialement.

(*) par exemple, la méthode "j'enlève les multiples de 2, 3, 5 et 7" donne parmi les entiers de 2 à 100 uniquement des premiers; et presque que des premiers parmi les nombres de 2 à 200. Et elle est totalement programmable

Math Coss · June 2021

Je pensais avoir compris mais je n'arrive pas à trouver $11$ à partir de $[1,3,4,5,7]$.

Avant cela, partant de la liste $[3,4,5,7]$, on peut former $53=3\times4\times5-7$ qui n'apparaît pas dans la liste longue. A contrario, avec le même départ, je ne sais pas produire $11$, $17$, $19$, $59$, $61$.

Peux-tu m'expliquer stp ?

def allonge(l,n):
    '''ajoute des zeros a la liste l pour atteindre une longueur n'''
    if len(l)<n:                                        
        l+= (n-len(l))*[0] 
    return l            

def parties(n):
    '''renvoie la liste des listes de zeros et un pour coder les parties'''
    return [allonge(ZZ(k).bits(),n) for k in range(2^n)]
                           
def S(L):
    '''produit la séquence suivante
    N = len(L)
    # print parties(len(L))
    for l in parties(N):
        #print N, l
        p = prod(L[k] for k in range(N) if l[k]==1)
        q = prod(L[k] for k in range(N) if l[k]==0)
        # print p,q
        L+= [p+q, abs(p-q)]
    L = list(set(L))
    L.sort()
    print "Liste longue"; print L
    return L[:N+1]

Exemple

sage: S([3,4,5,7])
Liste longue
[1, 3, 4, 5, 7, 13, 23, 41, 43, 47, 53, 67, 79, 89, 101, 109, 137, 143, 419, 421]
[1, 3, 4, 5, 7]

Léon Claude Joseph · June 2021

Il y a presque 25 ans, j’avais intitulé mon texte « essai d’une construction séquentielle d’une suite de nombres premiers », ma recherche s’arrêtant dès qu’un nombre non premier apparaissait. J’ai pensé qu’en poursuivant avec les moyens modernes, on pourrait découvrir quelque raison de ce phénomène un peu curieux.
Je pensais aussi que ce phorum pourrait apporter quelques améliorations à cette méthode de construction. Le but est de partager l’idée sous-jacente. Mes excuses si la formulation donnée peut paraitre difficile et l’est effectivement.

Léon Claude Joseph · June 2021

Math Coss:
11 n'apparait pas;
Dans mon texte il est dit que les nombres trouvés à partir d'une nouvelle base vont enrichir ceux trouvés à partir de la base précédente.
11 se trouvait dans la suite précédente.
Mon explication est-elle suffisante?

Math Coss · June 2021

Non. Comme je l'ai écrit, $11$ n'apparaît pas dans la « liste longue » produite à partir de $(3,4,5,7)$. Saurais-tu nous montrer une formule qui exprime $11=abc\pm d$ ou $11=ab\pm cd$ avec $\{a,b,c,d\}=\{3,4,5,7\}$ ? Je suis perplexe.

Dreamer · June 2021

Bonsoir.

Il semblerait qu'il soit possible de tenir compte de 1 comme élément supplémentaire (dans le texte de départ, quand la première liste comprend 3, 4, 5, les calculs font subitement apparaître 1), alors 11 et 13 s'obtiennent respectivement par $3 × 4 - 1$ et $3 × 4 + 1$.

[Édit : on peut aussi envisager que 11 soit obtenu par $3 × 5 - 4$, sans tenir compte du 7.]

À bientôt.

Math Coss · June 2021

Quand je lis « la somme et la différence (arithmétique) du produit de ses éléments et du produit des éléments de la partie complémentaire », je pense qu'il faut mettre tous les termes de la suite dans un des termes de la somme ou de la différence !

Dreamer · June 2021

Bonjour.

Oui, c'est sans doute comme cela qu'il faut le penser, mais alors Léon Claude Joseph a mal décrit les opérations qu'il a faites (ce qui a déjà été relevé).

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi subitement faire aussi appel à 1 pour générer les éléments supplémentaires ?

À bientôt.

gerard0 · June 2021

Parce que ça l'arrange ! Et c'est pour cela que ce n'est pas programmable, il n'y a pas de méthode de construction.

Cordialement.

NB : Pourquoi ce message est-il dans "Arithmétique" ?

Léon Claude Joseph · June 2021

Exceptionnellement, dans ces calculs j’accepte l’unité comme premier.

J’ai retrouvé ceci dans mes notes

Essai où la base est la partie vide des naturels :
( ) == (1 ) == ( 1,2) == (1,2,3 ) == (1,2,3,5,7 )\ == (1,2,3,5,7,11,13,17,29,31 )\ == (1,2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,41,47,103,107,209,211 )
209 n’est pas premier.

Math Coss a écrit :
11 n'apparaît pas dans la « liste longue » produite à partir de (3,4,5,7).
Effectivement. Mais il apparait dans la suite précédente [de base (3,4,5)] que les nouveaux nombres produits par (3,4,5,7) viennent enrichir.

gerardO a sans doute raison.
Le procédé tel qu’il est exprimé n’est peut-être pas programmable. Personnellement, n’ayant reçu aucune formation dans ce domaine, je ne peux l’améliorer pour qu’il le soit.

lourrran · June 2021

Un procédé clairement exprimé est programmable.
Un procédé qui doit être modifié à chaque fois que le concepteur change d'envie n'est pas programmable.

Dreamer · June 2021

Le fait d'autoriser les solutions des générations précédentes de la liste revient à admettre les formules sur les parties de la liste comme valides.

Le fait d'accepter "exceptionnellement" l'unité revient, sans le dire, à ajouter un opérateur supplémentaire aux opérateurs déjà définis.
Je ne comprends toujours pas le bien fondé de cet opérateur supplémentaire car il est redondant avec ceux formés sur les parties de liste (voir mon premier message avec les exemples, 11 est bien obtenu de deux manières différentes).

Pour le reste, il faut choisir, "exceptionnellement" n'est pas une condition valide.

À bientôt.

lourrran · June 2021

Quand tu as 3 nombres, disons $(a,b,c)$ , les nombres que tu ajoutes pour arriver à l'étape suivante sont les nombres de la forme $ab-c$ (3 nombres possibles), $ab+c$ (3 nombres possibles également), $abc-1$ et $abc+1$
Tu as une nouvelle série avec les 3 nombre de départ, et les 8 nombres en question. Eventuellement moins s'il y a des doublons.

Tu prends les 4 plus petits nombres de cette série, notons les (a,b,c,d).

Et là pour l'étape suivante, tu autorises quelles combinaisons ?
abc+d ... soit 4 résultats
abc-d , 4 résultats également
ab+cd , 3 réultats
ab-cd
abcd-1
abcd+1
C'est ça ?

Tu demandes pourquoi au début, tous les nombres obtenus sont premiers, alors qu'à un moment, on finit par tomber sur des nombres composés.
Quand on fait ab+c, avec (a,b,c) premiers entre eux, on a l'assurance que le nombre obtenu sera premier avec a, b et c. Et comme tu travailles sur des petits nombres, tu as de très grandes chances qu'il soit premier.

En partant avec (3,4,5), les plus petits nombres composés qui sont premiers avec 3,4 et 5, c'est 7*7=49 puis 7*11=77 ... des nombres très grands par rapport à ceux obtenus.

Quand tu fais ab+c avec des nombres un peu plus grands, disons 11, 12 et 13, tu as l'assurance que toutes les combinaisons de ces 3 nombres donneront des nombres qui sont premiers avec 11,12 et 13 ... donc premiers avec 2, 3, 11 et 13.
Mais le résultat obtenu peut être multiple de 5 ou de 7 ou de 17 ou de 19 ...

Exemple : 11*13+12=143+12=155=5*31
Le résultat obtenu est premier avec 11, 12 et 13, mais il n'est pas premier.

Quentino37 · June 2021

Petite question : existe-il des suites "simples" (je veux dire par là pas des suites comme la suites des nombres premiers par exemple... vous voyez l'idée...) dont la proportion de nombre premiers dans la suite est non nulle ?

Dreamer · June 2021

Bonsoir.

Il y a un très beau théorème, dit de la suite arithmétique, qui établit que pour un couple de naturels $(a, b)$ premiers entre eux, la suite $(a \cdot n + b)$, où $n$ parcourt les naturels, contient une infinité de nombres premiers.

Des exemples classiques sont les suites de terme général $4\cdot n +1$, $4\cdot n +3$, $6 \cdot n +1$ et $6\cdot n +5$, entre autres.

À bientôt.

Quentino37 · June 2021

dans la question ce n'est le nombre, mais la proportion

Quentino37 · June 2021

par exemple une suite qui est composée de $\frac{e }{\pi}$ de nombres premiers

Dreamer · June 2021

Là, il faut voir du côté du biais de Tchebychev.

Cela donne les proportions de nombres premiers dans les suites précédemment évoquées quand elles sont vues comme des classes d'équivalence.

Par rapport à la question d'une proportion fixée dans l'absolu, je ne vois pas, c'est peut-être encore à l'état de recherche.

À bientôt.

Rescassol · June 2021

Bonjour

Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers également répartis dans chacune des $\phi(a)$ suites arithmétiques $\{an+b\}_{n \in \mathbb{N}}$ (Dirichlet).

Cordialement,

Rescassol

lourrran · June 2021

Dans la suite des nombres $an+b$, avec a et b premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers.
Mais dans cette suite, la proportion de nombre premiers tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Suites d'entiers majoritairement premiers

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