Système de numération
dans Arithmétique
Bonsoir, j'aimerais comprendre cette équation : $$(5x+3)(3x-7)=13x^2-22x-19.
$$ Je pense que c'est un problème d'écriture dans une base mais je n'arrive pas à savoir comment m'y prendre.
Merci pour votre aide.
$$ Je pense que c'est un problème d'écriture dans une base mais je n'arrive pas à savoir comment m'y prendre.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Quand on dit : Résoudre cette équation, ça veut dire : trouver les valeurs particulières des inconnues (ici, il y a une seule inconnue, c'est $x$) pour lesquelles cette égalité est vraie.
Ici, je n'ai pas fait les calculs, mais je pense que tu devrais trouver 2 valeurs de $x$ qui conviennent.
Puisqu'il est question de résolution d'une équation du deuxième degré, autant l'écrire :
$2x^2-4x-2=0$
$2(x^2-2x-1)=0$
$x^2-2x-1=0$
En ce qui concerne la forme, à un signe près, elle ressemble à $x^2-2x+1=0$, qui donne $(x-1)^2=0$.
Pour passer de l'équation de départ à cette dernière en utilisant des nombres entiers, il faut y ajouter successivement deux fois 1, ce qui fait passer l'ensemble des solutions pour la factorisation de départ de 0 à 1 en passant par 2 (l'équation intermédiaire étant $x^2-2x=0$ qui se factorise en $x(x-2)=0$, la solution $x=0$ montrant au passage que 19 ne se factorise pas en produit de deux entiers différents de 1 et lui-même).
Pour mieux rendre compte de ceci, il serait intéressant d'introduire le paramètre $a$ entier et de résoudre l'équation paramétrique $(5(x-a)+3)(3(x-a)+7)=13(x-a)^2-22(x-a)-19$.
L'autre solution étant de corriger une éventuelle erreur d'énoncé.
À bientôt.
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Les martiens sont un peu bizarre quand même. Ma voisine par exemple en est une. Outre le fait qu'elle ait six doigts à chaque mains, j'ai l'impression qu'elle écrit des inepties sous son cahier de maths. Par exemple, l'autre jour, j'ai vu la formule: $(5x+3)(3x-7)=13x^2-22x-19$.
Pouvez-vous m'aider à comprendre, car j'ai entendu dire qu'elle était très forte en maths, et ne se trompait jamais en calcul?
On voit alors dans quelle base il y a égalité pour tout $x$.
On regarde en base 12 (6 doigts) et on voit que ça marche.
En effet le second terme devient en base 10:
(12+3)x²- (2*12+2)x -(12+9)
Qui est le développement du premier.
Reste à prouver que c'est la seule solution.
Cordialement
9 en base 2 n'est pas défini, or on a un nombre qui s'écrit 19.
Codialement
Et donc 19, ce ne serait pas une dizaine + 9 unités, mais une douzaine + 9 unités.
Et pareil pour 22 ou 13.
Et on voit que ça marche bien !
Je suis d’accord avec ce que vous dites mais ça part d’hypothèses... « et si, et si, et si ... »
Bien entendu que j’ai pensé aussi à la base « double des doigts d’une main ».
On suppose :
-que les chiffres sont les nôtres
-que les symboles des opérations sont les nôtres
-que le nombre de doigts détermine la base dans laquelle on écrit
C’est l’exercice typique rempli de tous les sous-entendus possibles.
Mais j’ai bien compris qu’il s’agit d’un exercice amusant.
Et que comme on est dimanche, inutile de s’emballer comme je le fais (:P)
le troisième sous-entendu n'est pas nécessaire.
La présence du 9 impose une base supérieure ou égale à 10, on la note 10+p en base 10.
Le deuxième terme devient (10+p+3)x² - (20+2p+2)x -(10+p+9)
Rendu égal au premier cela conduit à
p(x²-2x-1) = 2(x²-2x-1)
Si l'on veut que cela soit vrai pour tout x, cela mène à p=2.
Cordialement
On ne m’enlèvera pas de l’idée que de refuser le chiffre « 9 » en base $deux$ est fait pour celui qui maîtrise déjà tout ça.
Car le nombre $neuf$ il est licite et on a le droit de l’écrire avec le chiffre « 9 » pour aller plus vite.
Mais je le répète, mon chipotage dominical n’est pas polémique.
Une remarque plus pertinente cependant : il vaut mieux dire base $dix$ que base $10$.
En effet, quelle que soit la base $b$, c’est la base $10$ avec les conventions adoptées.
Autrement dit, quel que soit $b$, $10_b=b$.
La présence du chiffre $9$ indique que la base est strictement supérieure à $9$.
Jandri a dit ce qu'il fallait.
tu as raison: écrire "base 10" est tautologique. Il fallait lire "base dix".
Cordialement
On observe la force d’une « langue maternelle » sur l’esprit :-)
On lit ce que l'on écrit et on a pris l'habitude de lire les nombres formés de chiffres en base dix.
Si l'on écrivait sans lire, le problème ne se poserait pas.
Cordialement
La formule a toujours un sens, mais quand la base est la base douze, alors la formule devient soudain vraie pour tout réel $x$.