Un groupe d'ordre 30

Bonjour Emma
Soit $G$ un groupe d'ordre $p^ks$, avec $p$ premier ne divisant pas $s$.
Si le nombre de $p$-Sylow est $1$, cela veut dire que le groupe $G$ n'a qu'un seul sous-groupe $S$ d'ordre $p^k$. Or, l'image de $S$ par tout automorphisme intérieur est un sous-groupe de $G$ d'ordre $p^k$, donc est $S$ (seul sous-groupe de $G$ d'ordre $p^k$). En d'autre termes
$$\forall g\in G,\quad gSg^{-1}=S.
$$ Mais c'est la définition de $S$ est distingué dans $G$.

Une autre manière de voir cela est de savoir, par les théorèmes de Sylow, que tous les $p$-Sylow d'un groupe sont conjugués entre eux. S'il n'y en a qu'un seul, il est égal à tous ses conjugués, il est donc distingué.

Ta justification pour le c. est correcte. En effet, si un groupe vérifie "a. et b." alors il admet au moins $24+20>30$ éléments. Donc $G$, d'ordre $30$, vérifie "non(a. et b.)", c'est-à-dire "non a. ou non b.", c'est-à-dire vérifie "c."
Alain.