Égales sommes de 3 carrés

J.Faizant
J.Faizant
dans Arithmétique
x, y, z peuvent être des naturels, posons : S= x+y+z+1, X = y+z-x, Y = z+x-y, Z = x+y-z, puis A = 2xy+S, B = 2yz+S, C = 2zx+S, a = 2xy+Z, b = 2yz+X, c = 2zx+Y ; on a alors :
A2 + B2 + c2 = B2 + C2 + a2 = C2 + A2 + b2 (1)
et
a2 + b2 + C2 = b2 + c2 + A2 = c2 + a2 + B2 (2)
Si dans (1) on choisit z tel que z=x+y+1 alors chacun des membres de la suite d'égalités est égal au carré de
(x+1)2 + (y+1)2 + z2.
Si dans (2) on choisit z tel que z=x +y alors chacun des membres de la suite d'égalités est égal au carré de
x2 + y2 + (z+1)2.
En relation avec la norme de la partie vectorielle d'un quaternion.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Je ne sais pas ce qu’il faut faire.

    Cordialement

    Dom
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Vous pouvez répéter la question :-D ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • J.Faizant
    J.Faizant
    Vous avez parfaitement raison, il n'y a pas de question . Cependant mes questions sont implicites :

    1) Auriez-vous l'obligeance de vérifier par le calcul les propriétés présentées ?

    2) Les avez-vous trouvées belles et agréables à l’œil ? Existent-elles déjà quelque part dans un bouquin de math (avec référence) ?

    3) Ne peuvent-elles pas être anticipées (devinées sans calcul) en considérant la norme de la partie vectorielle du quaternion $(2x+1+I)(2y+1+J)(2z+1+K)\ $ ?

    Amicalement.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    1) Vérifié par Maple.
    2) Très symétriques. Sans doute en exercice dans des bouquins d'algèbre de fin de lycée ou de prépa du vingtième siècle; mais qui les connaît tous ?

    Cordialement.
  • J.Faizant
    J.Faizant
    1) J'ai, moi aussi, un Maple 7, qui fonctionne sur de très vieux ordinateurs, le vôtre est-il plus récent et, si cela n'est pas trop indiscret, comment peut-on s'en procurer un qui fonctionne avec des ordinateurs récents ?
    2) Avez-vous aussi vérifié le calcul quaternionique qui mène aux formules. On peut d'ailleurs remarquer en divisant par 2 que le quaternion en question est un quaternion d'Hurwitz ?
    3) J'ai survolé History of the Theory of Numbers de Dickson, qui est riche dans le domaine des sommes de trois carrés et n'y ai point vu mes identités ci-dessus qui sont vraiment très simples.

    Bonne journée.
  • gerard0
    gerard0
    Ma version est la V, version 4, qui fonctionnait sur les ordinateurs de l'an 2000 et fonctionne toujours sur les plus récents. Je n'ai jamais eu de souci, pas besoins d'installation, je copie le dossier, c'est tout !
    Je ne me suis jamais intéressé aux quaternions.
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